Forelesninger - notater i for- og etterkant
Introduksjon.
Kapittel 2: grenser, deriverbarhet og kontinuitet. Mest avsnittene 2.2-2.3.
Avsnitt 8.3 (i kapittel 8): L'Hôpitals regel
Siden jeg hadde litt filosofisk vinkling på denne forelesningen, kan det være på plass med et par linker til materiale for den ekstra interesserte. Eugene Wigners artikkel The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences fra 1960 er en klassiker, og dersom den gir mersmak kan du også kikke på R. W. Hammings artikkel The Unreasonable Effectiveness of Mathematics fra 1980.
Jeg var også inne på at grensebegrepet har en lang historie. Du kan lese mer om matematikkens historie i The MacTutor History of Mathematics archive. Når jeg lager lenker til berømte matematikeres navn nedenfor, er det stort sett der jeg har funnet dem. Jeg kan jo starte med Karl Weierstrass (1815-1897), som gis æren for grensebegrepet slik vi kjenner det. Et interessant sitat:
In 1861 his emphasis on rigour led him to discover a function that, although continuous, had no derivative at any point. Analysts who depended heavily upon intuition for their discoveries were rather dismayed at this counter-intuitive function.
Noe å fundere på?
Nok om det. I dagens forelesning kom jeg fram til den rigorøse (epsilon-delta) definisjonen av grensebegrepet (avsnitt 2.2). Som motivasjon brukte jeg en analogi med garantier i kontraktsforhold.
Regler for grenseberegninger - fra avsnitt 2.2, pluss skviseloven fra avsnitt 2.3 (Squeeze law, side 79).
Dessuten L'Hôpitals regel (avsnitt 8.3), som Guillaume De l'Hôpital i virkeligheten lærte av Johann Bernoulli (hele historien står å lese i hans biografi). Også skviseloven (side 79).
Bli ferdig med kapittel 2.
Kapittel 3 til og med 3.3 omtrent. (Planen var til og med 3.8, så vi har litt å ta igjen.)
Fra avsnitt 2.3: Kort om ensidige og uendelige grenser.
Fra avsnitt 2.4: Om kontinuitet - i et punkt, i et intervall, fra høyre og venstre. Alle grensereglene gir opphav til regler om kontinuitet: Setter man sammen kontinuerlige funksjoner ved addisjon, multiplikasjon, divisjon (så lenge nevneren ikke er null) og komposisjon får man nye kontinuerlige funksjoner.
Skjæringssetningen (the intermediate value property - burde heller vært kalt the intermediate value theorem).
Mer om skjæringssetningen: Jeg antydet hvordan den kan bevises ved gjentatte halveringer av intervallet, slik at funksjonsverdiene i hver ende alltid ligger på hver sin side av den ønskede verdien. Vi ender med en uendelig følge av stadig mindre lukkede intervaller, og det er en fundamental egenskap ved de reelle tall - kompletthetsaksiomet - at alle disse intervallene har et felles punkt. Ut fra kontinuitet og konstruksjonen av småintervallene utleder vi raskt en selvmotsigelse dersom funksjonsverdien i punktet er enten større eller mindre enn den ønskede - så den må være lik.
Kompletthetsaksiomet har mange ekvivalente formuleringer, hvor det kanskje mest kjente er den at det til enhver oppad begrenset, ikketom mengde finnes et supremum, eller et minste tall som er større enn eller lik alle tall i mengden. At disse formuleringene virkelig er ekvivalente, er ikke umiddelbart opplagt.
Beviset over gir en rimelig effektiv algoritme for å løse ligninger numerisk. Men den er lite brukt, for som vi skal se senere finnes algoritmer som er enda mye mer effektive, om enn ikke like robuste (Newtons metode).
Om eksistens av maksimum og minimum for kontinuerlige funksjoner på et lukket intervall (ekstremverdisetningen; egentlig i avnitt 3.5 side 142).
Beviset for ekstremverdisetningen kan også benytte suksessiv halvering av intervallet slik som beviset for skjæringssetningen. Men å velge rett halvpart krever nå kunnskap om funksjonsverdier i hele intervallet, ikke bare i utvalgte punkter - så dette gir ikke noen praktisk algoritme for å finne ekstremverdier.
Kapittel 3, om derivasjon.
Gottfried Wilhelm von Leibniz og Sir Isaac Newton utviklet differensialregningen i annen halvdel av 1600-tallet. Regelen for den deriverte av xn ble for eksempel utledet av Leibniz i 1676. Det oppsto for øvrig en meget bitter uenighet mellom Newton og Leibniz over hvem som var først - se biografien over Leibniz for detaljene.
Newton og Leibniz tenkte nok ikke på den deriverte som en grense. Leibniz arbeidet med differensialer, som hadde en viss likhet med dagens differensialbegrep, mens Newton arbeidet med noe han kalte fluxioner som nok var noe lignende. Den moderne definisjonen ble først fremsatt av Jean Le Rond d'Alembert i 1754. Det tok altså rundt 80 år å komme så langt! Og enda tok det lang tid før selve grensebegrepet var avklart - men d'Alembert forsto i hvert fall at det var nødvendig.
En geometrisk tolkning av deriverbarhet: At f er deriverbar i a betyr at grafen til f ser ut som en rett linje om man ser på den i mikroskop nær x=a. Vi kan skrive dette som ligningen
f(a+h)=f(a)+f'(a)h +R(a,h)
der R(a,h) går mot 0 når h går mot null. Denne formuleringen er på alle måter ekvivalent med den vanlige definisjonen av deriverbarhet, og viser seg å være vel så velegnet for mange teoretiske formål.
Resten av kapittel 3 og det meste av kapittel 4.
Jeg var bortreist denne dagen, og Trond Digernes tok forelesningen for meg.
Avsnitt 3.5 om optimalisering av funksjoner på lukkede intervaller. Merk at jeg allerede hadde dekket Teorem 1 side 142. Selv om dette teoremet er et helt abstrakt resultat, er det uunnværlig når man skal bestemme ekstremverdier.
Å optimalisere en funksjon kan bety å finne minimum eller å finne maksimum. For den som vil selge en vare er maksimum optimalt, men for den som vil kjøpe er minimum optimalt. Teknikkene er de samme i begge tilfeller. En ekstremverdi er enten et minimum eller et maksimum.
Avsnitt 3.6 om anvendte optimaliseringsproblemer: Regnet problem 3.6.45. For øvrig egner nok avsnittet seg veldig bra for auditorieøvingstimen.
Avsnitt 3.7: Rask gjennomgang av de trigonometriske funksjonene og deres deriverte. (Funksjonene sec og csc bruker vi svært sjelden.) Regnet problem 3.7.77.
Avsnitt 3.8 om implisitt derivasjon og relaterte rater. Eksempel 2 (René Descartes' folium).
Avsnitt 3.9 om Sir Isaac Newtons metode.
Løse tråder fra kapittel 3:
Deriverbarhet impliserer kontinuitet (side 136).
Derivasjon av potensfunksjonen xr for rasjonale eksponenter r (avsnitt 3.4): Dette er et pent eksempel på bruk av implisitt derivasjon anvendt på ligningen yq=xp. (Boka lager et nummer av derivasjonsregelen for [f(x)]r, men jeg kan ikke forstå poenget med det: Det er jo bare å bruke regelen for potensfunksjoner sammen med kjerneregelen.)
Konvergens av Newtons metode: Dersom metoden gir en konvergent tallfølge og f er kontinuerlig i grensepunktet z, så må enten f(z)=0 eller så må den deriverte f' være ubegrenset i nærheten av z.
Avsnitt 4.2 om inkrementer, differensialer og lineær tilnærming: Her hadde jeg allerede lagt et godt grunnlag ved min alternative tilnærming til den deriverte, fra forrige tirsdag. Det gjensto mest å forklare differensialer, som kan virke litt mystisk, for ikke å si magisk. Jeg minner om at deriverbarhet i et punkt betyr at funksjonen er tilnærmet lineær i nærheten av punktet. I en viss forstand går differensialregningen ut på å se bort fra avviket fra linearitet og å regne som om det virkelig var lineært. Teorien for differensialer kan gjøres teoretisk solid, men det krever desverre et abstraksjonsnivå som ikke er passende for dette kurset. Vi nøyer oss med å legge merke til at differensialer leder regler som er lette å huske, ved bare å regne med de deriverte dy/dx som om de var virkelige brøker. (Men for all del, les dx som ett symbol, ikke som et produkt d ganger x! Å forkorte d-ene i dy/dx og få y/x er galt og meningsløst.)
Avsnitt 4.3 om voksende og avtagende funksjoner og sekantsetningen (the mean value theorem): Jeg kom bare så vidt i gang, og må bruke mer tid på mandag.
Legg merke til at avsnittene 4.4-4.7 er selvstudium.
Resten av kapittel 4. Induksjon. Kapittel 5.
Først gjorde jeg meg ferdig med avsnitt 4.3 om sekantsetningen og ikke minst dens konsekvenser: Sammenhengen mellom monotonitet* og fortegnet til den deriverte, og spesielt det faktum at dersom f'=0 så er f en konstant funksjon. Beviset for sekantsetningen bygget på Michel Rolles teorem, som igjen knapt er mer enn en anvendelse av prinsippet om eksistensen av ekstrempunkter for en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall.
* Monotonitet: En funksjon kalles monoton i et intervall om den enten er voksende i intervallet, eller avtagende.
Deretter tok jeg for meg prinsippet for matematisk induksjon. , deretter notatet om induksjon. Starte på kapittel 5 om det blir tid.
Jeg startet med noen flere eksempler på induksjonsbevis, basert på den berømte tallfølgen til Leonardo Pisano Fibonacci. Som et veldig enkelt eksempel beviste jeg at alle Fibonaccitallene faktisk er heltall - kanskje ikke så overraskende, men et helt rigorøst bevis krevde at utsagnet P(n) måtte velges med omhu. Et betydelig mer krevende eksempel var det om at på hverandre følgende Fibonaccitall Fn og Fn+1 ikke har noen felles faktor større enn 1.
Jeg kunne ikke dy meg for å trekke fram et alternativ til de klassiske induksjonsbevis, nemlig velordningsprinsippet: Enhver ikketom mengde av positive heltall har et minste element. Når man skal bruke dette til å bevise at P(n) er sann for alle n, antar man det motsatte, og utleder så en motsigelse fra eksistensen av det minste positive heltallet slik at P(n) er feil. Beviset for at alle Fibonaccitall er heltall ble enklere med denne metoden.
Denne typen motsigelsesbevis er ofte veldig nyttige i matematikken: Når man skal vise et utsagn antar man det motsatte og utleder en motsigelse av det. Et vakkert eksempel er beviset for at den første som trekker i spillet Hex har en vinnende strategi.
Deretter startet jeg på kapittel 5, om antiderivasjon og integrasjon. Men jeg fikk bare tid til å snakke om antiderivasjon, og innførte en notasjon (det ubestemte integralet) for den antideriverte til en funksjon f: En funksjon F slik at F'=f, eller (ekvivalent) en løsning y(x) av differensialligningen y'=f(x). Som en anvendelse så vi på hastighet og akselerasjon, og beregnet hvor lang veistrekning som trengtes for å stoppe en bil med hastighet 30 m/s når akselerasjonen var -10 m/s.
Den antideriverte har vært kjent allerede siden Leibniz' og Newtons dager.
Kapittel 5 (integrasjon); vi nådde ikke 5.8 (arealberegninger), 5.9 (numerisk integrasjon) og 9.8 (såkalt «uegentlige» integraler). Dette løser vi ved at 5.8 blir gjennomgått i øvingstimen, mens 5.9 og 9.8 utsettes til forelesningene i neste uke.
Vi startet uken med litt hjernetrim (ikke helt irrelevant, når vi tenker på bruken av motsigelsesbevis i et par induksjonsbevis jeg gjorde i forrige uke).
Jeg begynte med raskt å forklare den intuitive tolkningen av det bestemte integralet som et areal under grafen (eller over grafen - med motsatt fortegn, der funksjonsverdiene er negative). Så ga jeg et geometrisk argument for Integralregningens fundamentalsetning (avsnitt 5.6, side 317), som kort sagt forklarer hvorfor integrasjon og antiderivasjon essensielt er samme sak. (Denne litt uformelle diskusjonen gjenspeiles mest i starten av avsnitt 5.5.)
Dette var godt nok for Leibniz og Newton, så hvorfor er det da ikke godt nok for oss? Ett svar er dette: Vi klarer ikke alltid å finne en antiderivert, og klarer vi ikke det, så klarer vi ikke beregne integralet. Verre er at vi heller ikke vet at det finnes. Et annet, og mer praktisk, svar er at Riemannintegralet danner basis for numeriske beregninger av integraler.
Banach-Tarski-paradokset handler om at vi kan skjære en kule i biter, flytte rundt på bitene, og sette dem sammen til to nye kopier av den opprinnelige kulen - eller en større kule. Siden dette åpenbart strider mot våre tilvente forestillinger om volumbevarelse ved slike operasjoner, viser dette at vi må vise forsiktighet i vår omgang med volumbegrepet. Spesielt kan vi ikke uten videre anta at alle delmengder av rommet har et veldefinert volum! Tilsvarende gjelder arealer i planet, om enn ikke med like dramatiske konsekvenser. Men det viser i hvert fall at man må definere areal med omhu for å være sikker på å ikke havne i selvmotsigelser.
Den moderne idéen til hvordan integralet kan defineres var det Augustin Louis Cauchy som sto for. (Se også frimerke med en illustrasjon blant annet av dette.) Men integralet kalles gjerne Riemannintegralet etter Georg Friedrich Bernhard Riemann, som blant annet ga en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at en funksjon skal være integrerbar. Jeg snakket om over- og undersummer (herunder bruken av summetegnet), se avsnitt 5.3; disse generaliseres til Riemannsummer, se avsnitt 5.4; og grensen av Riemannsummene når partisjonene blir finere og finere definerer det bestemte integralet.
Riemanns betingelse for integrerbarhet er at diskontinuitetene til integranden må ha mål null. Det fører desverre litt for langt å prøve å forklare hva det betyr her.
Planen var å plukke opp eventuelle løse tråder fra avsnitt 5.1-5.6; deretter integrasjon ved substitusjon (5.7), eksempler på arealberegninger (5.8) og numerisk integrasjon (5.9). Ideelt skal jeg også finne tid til avsnitt 9.8 om såkalte uegentlige integraler. Vi får se.
Først plukket jeg opp noen løse tråder fra avsnitt 5.1-5.6: Noen regneregler for integraler fra avsnitt 5.5 og ikke minst ulikhetene (sammenligningsreglene) på side 311. Den siste sammenligningsregelen sammen med eksistensteoremet om minimums- og maksimumspunkt for en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall, sammen med skjæringssetningen, ga middelverditeoremet for integrasjon (først i 5.6, side 316). Fra dette er det så enkelt å utlede den første delen av fundamentalteoremet på side 317.
Et lite sidesprang: Jeg viste frem en funksjon som er kontinuerlig, men ikke deriverbar i noe punkt, og heller ikke monoton i noe delintervall. For slike funksjoner er eksistensen av integralet mye vanskeligere å bevise enn for montone funksjoner.
Til slutt: Integrasjon ved substitusjon (avsnitt 5.7). Metoden er ikke annet enn kjerneregelen i revers, men vi bruker gjerne en arbeidsmetode som baserer seg på differensialer, som virker noe magisk men har den fordelen at det er lett å holde styr på hva man gjør.
Først 5.9 (numerisk integrasjon). Avsnitt 5.8 (flateberegninger) og 9.8 (såkalt «uegentlige» integraler) har vært dekket tilstrekkelig i øvingstimen, og kan eventuelt leses på egenhånd.
Deretter 6.1-6.4, som mest er forskjellige anvendelser av integralet, blant annet på buelengde og volumberegninger. Detaljer følger...
Merk: Vi forlater nå «kjent territorium» og beveger oss stadig lengre vekk fra den matematikken dere kjenner fra den videregående skolen. Stoffet blir kanskje litt mindre teoretisk, men det er mye nytt å lære - så nå gjelder det å henge med!
Først introduserte jeg ukens lille hjernetrim: Denne gangen et nokså vrient spørsmål om Dirichlets funksjon.
Men hovedtema for forelesningen var numerisk integrasjon, fra avsnitt 5.9: De heller unøyaktige endepunktsmetodene, trapesmetoden, midtpunktmetoden og Thomas Simpsons metode. Mens midtpunktmetoden er grovt regnet dobbelt så nøyaktig som trapesmetoden, er denne forskjellen beskjeden i forhold til forskjellen til Simpsons metode, for mens feilestimatene for trapes- og midtpunktmetoden er på formen konstant ganger 1/n2, er det 1/n4 som gjelder for Simpsons metode, og det blir fort dramatisk når n blir stor.
Jeg regnet noen eksempler, først og fremst ln 2 beregnet med nøyaktighet 1/100 ved å bruke midtpunktmetoden. Men jeg sjekket også hvor mange ledd som ville trenges for å oppnå nøyaktighet 10-6 med henholdsvis midtpunktmetoden og Simpsons metode. (Jeg husker ikke svaret, og vil ikke beregne dem igjen - men forskjellen var voldsomt stor, i Simpsons favør.)
Først handlet det om om å stille opp integralformler (avsnitt 6.1), med et par eksempler på dette (areal av sirkel ved å splitte opp i annuli, beregning av total mengde forurensning i elvesediment ved å integrere opp konsentrasjonen ganger sedimentets tverrsnittsareal i elvens lengderetning, og beregning av totalt utslipp ved å integrere opp utslippsrater over tid). Som alltid er idéen å dele opp i små biter, skrive den ønskede størrelsen som en sum over bitene, og gjenkjenne denne summen som en Riemannsum for et integral, som så blir den endelige formelen etter en grenseovergang.
Deretter volumberegninger med tverrsnittsmetoden (Bonaventura Francesco Cavalieris prinsipp). Eksempler inkluderer volum av en pyramide (med vilkårlig fasong på grunnflaten) og eksempel 7 i avsnitt 6.2 (hvor mye er igjen i glasset når halve bunnen er dekket?) Deretter fokuserte jeg spesielt på omdreingingslegemer. Endelig kan volumet av slike også ofte beregnes med sylinderskallmetoden (avsnitt 6.3). Jeg forklarte teknikken veldig kjapt og hesblesende i slutten av timen; litt utdypning og flere eksempler får komme i øvingstimen.
Siden Johan Aarnes tar over forelesningene kommer disse notatene til å stoppe her. Men i tilfelle du likte de historiske lenkene og andre små sidesprang, kan du jo kikke i de tilsvarende notatene jeg kommer til å lage for parallellen jeg overtar. Det vil komme en link her...
Jeg har sagt til Aarnes at han kan starte med avsnitt 6.4, om buelengde og areal av omdreiningsflater. Deretter er alt opp til ham.
