De rasjonale tall er de reelle tall som kan skrives på formen p/q der p og q er hele tall. Vi kan alltid anta q>0 og at p og q ikke har noen felles faktor; for eksempel kan 4/(-6) skrives som -2/3. Vi sier da at p/q er en fullt forkortet heltallsbrøk.
Dirichlets funksjon D er definert på intervallet [0,1] slik:
D(x)=0 om x er irrasjonal, og
D(x)=1/q om x=p/q er en fullt forkortet heltallsbrøk.
For eksempel er D(1/pi)=0, mens D(0.016)=D(16/1000)=D(2/125)=1/125.
Spørsmål:
Hvor er D kontinuerlig, og hvor er den diskontinuerlig?
Er den integrerbar over intervallet [0,1], og hva er i så fall integralet?
Svar:
Allerede klokka 12 samme dag som jeg presenterte dette problemet, kom en student med riktig svar. Jeg glemte å spørre hva han het, men det er vel neppe mer enn én danske på rundt 2 meter i klassen? også Børge Mikkelsen svart riktig på spørsmålet om kontinuitet.
Har du selv kommet et stykke på vei, kan du nå sammenligne dine egne tanker med mitt svar.