De rasjonale tall er de reelle tall som kan skrives på formen p/q der p og q er hele tall. Vi kan alltid anta q>0 og at p og q ikke har noen felles faktor; for eksempel kan 4/(-6) skrives som -2/3. Vi sier da at p/q er en fullt forkortet heltallsbrøk.
Dirichlets funksjon D er definert på intervallet [0,1] slik:
D(x)=0 om x er irrasjonal, og
D(x)=1/q om x=p/q er en fullt forkortet heltallsbrøk.
For eksempel er D(1/pi)=0, mens D(0.016)=D(16/1000)=D(2/125)=1/125.
Spørsmål:
Hvor er D kontinuerlig, og hvor er den diskontinuerlig?
Er den integrerbar over intervallet [0,1], og hva er i så fall integralet?
Svar:
D er kontinuerlig i ethvert irrasjonalt tall, og diskontinuerlig i ethvert rasjonalt tall. Funksjonen er integrerbar, og integralet av den over [0,1] er lik 0.
Bevis:
Nøkkelen til beviset ligger i følgende observasjon, formulert som et lemma (en hjelpesetning):
Nedenstående blir kanskje litt lettere å lese om du tolker e som epsilon og d som delta.
Lemma 1. For ethvert positivt tall e finnes bare et endelig antall x i [0,1] med D(x)>e.
Bevis: Siden D(x)=0 når x er irrasjonal, kan ulikheten oppfylles kun når x=p/q er rasjonal. Om brøken er fullt forkortet er ulikheten 1/q>e, som er ekvivalent med q<1/e. Den ulikheten holder altså kun for et endelig antall nevnere q, og dermed for et endelig antall mulige x, siden det bare er et endelig antall mulige tellere p for hver q, når p/q skal ligge i intervallet [0,1].
Lemma 2. For enhver x i [0,1] vil D(z) konvergere mot 0 når z går mot x.
Bevis: Husk at grenseverdien for D i x er uavhengig av D(x) selv. Hvis e>0 sier nå lemma 1 at det finnes bare et endelig antall punkter utenom x selv der D er større enn eller lik e. Hvis d er den minste avstanden fra ett av disse punktene til x er dermed 0<D(z)<e hver gang 0<|z-x|<d, og det er tilstrekkelig.
Bevis for resultatene om (dis)kontinuitet: For irrasjonale x er jo D(x)=0, men det er også grenseverdien for D i x ved lemma 2. Så D er kontinuerlig der. For rasjonale x er D(x)>0, men igjen er grenseverdien =0, så D er diskontinuerlig der.
Bevis for integrabilitet: Anta at e>0. Ved lemma 1 finnes bare et endelig antall x der D(x)>e. La oss si det finnes N slike x. Tenk deg at vi har en partisjon P av [0,1] med norm |P|<d. Det kan ikke finnes flere enn 2N delintervaller¹ i denne partisjonen der D(x)>e for en x i delintervallet. Hvert av delintervallene har lengde <d, så totalbidraget til en Riemannsum fra disse delintervallene er ikke større enn 2Nd. De øvrige delintervallene har samlet lengde <1, og D(x)<e i disse, så de bidrar høyst med e til Riemannsummen. Alt i alt er altså Riemannsummen mindre enn 2Nd+e. Hvis vi velger d<e/N så ender vi med en Riemannsum garantert mindre enn 3e. På den annen side er den ikke negativ, siden D er en positiv funksjon. Vi kan altså tvinge Riemannsummen så nær 0 vi vil ved å velge d liten nok og så kreve at |P|<d. Per definisjon betyr det at D er integrerbar med integral 0.
¹ Totallet i estimatet 2Nd kommer fordi hvert punkt x der D(x)>e kunne tenkes å ligge på delepunktet mellom to delintervaller, og da kunne man lage Riemannsummen slik at dette punktet velges i begge delintervallene.