Riemannsummer

Figuren viser grafen til kvadratrotfunksjonen på det lukkede intervallet [0,1], med to Riemannsummer antydet: En undersum (røde søyler), basert på minimumspunktet i hvert delintervall, og en oversum (grønne søyler, som du må tenke deg fortsetter bak de røde helt ned til x-aksen).

De synlige delene av de grønne søylene representerer forskjellen mellom over- og undersum, og er derfor en øvre grense for avviket for hver av dem fra det riktige integralet. Om du skyver dem mot høyre ser du at de akkurat dekker ytterste høyre søyle, og totalarealet må derfor gå mot null når antall delepunkter går mot uendelig. Dette er hovedidéen i eksistensbeviset for integralet av monotone funksjoner. Beviset utvides enkelt til stykkevis monotone funksjoner, men funksjoner som bare er kontinuerlige, men ikke stykkevis kontinuerlige, krever helt andre metoder.