Ukens plan var avsnitt 15.2 om linjeintegraler (eller kurveintegraler, som de egentlig burde hete) og 15.3 om fundamentalteoremet for gradientvektorfelt, uavhengighet av vei etc.
Jeg er vel ikke helt ferdig med 12.1, men jeg vil heller flette det som gjenstår inn ettersom vi får bruk for begrepene underveis. Så i dag startet jeg med avsnitt 12.2, men jeg har også tatt med meg deler av 12.3 i farten.
Jeg definerte linjeintegralene (som egentlig burde vært kalt kurveintegraler) av en skalar funksjon med hensyn på buelengde, og av et vektorfelt («arbeidsintegralet» fra mekanikken), i prinsipp ved å se på Riemannsummer, men i praksis ved en formell omskriving til et helt ordinært integral. Et vektorfelt kalles konservativt om det faktisk kan skrives som gradienten til en skalar funksjon. Denne funksjonen kalles i så fall et potensial for vektorfeltet. Jeg viste fundamentalteoremet for linjeintegralet (E&P side 976), som impliserer at integralet av et konservativt vektorfelt er uavhengig av veien -- verdien avhenger bare av endepunktene. Omvendt, om integralet er uavhengig av veien, så er feltet konservativt, og har et potensial som i prinsipp kan finnes ved integrasjon.
Dette var siste uke før påske. Neste avsnitt beskriver hva jeg planla, og så vidt jeg husker gjennomførte jeg det etter planen.
Jeg utdypet 15.2 litt -- spesielt hadde jeg ikke nevnt linjeintegralet slik det skrives i (12) side 973. Og så hadde jeg mer å si om konservative felt og testen for slike ved derivasjon (theorem 3 side 981). Jeg forklarte litt om hvordan testen kan feile når definisjonsområdet for vektorfeltet inneholder hull, og så litt mer på eksempler og anvendelser.
Og da skjedde det lite i kurset.
Mandag og tirsdag var det fortsatt påskeferie.
Etter noe mer repetisjon enn vanlig - mange hadde nok glemt mye i løpet av påsken - var tiden viet George Greens teorem. Jeg delte opp beviset i to: Den formelen vi får ved å sette Q=0, og den vi får ved å sette P=0. Den sistnevnte viste jeg for vertikalt enkle områder. Den første kan vises tilsvarende for horisontalt enkle områder, og om området er både horisontalt og vertikalt enkelt er det bare å legge de to sammen og få det generelle resultatet. Så lenge området er noenlunde «snilt» kan det alltid deles opp i slike områder. Legger man sammen Greens teorem for hver del, vil integralene over de indre delelinjene forsvinne (hver delelinje følges to ganger, en gang i hver retning, og man står igjen med integralet langs randen.) Den samme teknikken kan brukes om området har hull i seg, til å konkludere med at Greens teorem holder da og, men må må integrere med klokka rundt kanten av hvert hull.
En huskeregel som kanskje er vel så grei er at man alltid skal ha området på venstre hånd når man spaserer rundt randen (ytre eller indre) i integrasjonsretningen.
Det er viktig å huske at Greens teorem ikke kan kan brukes om ikke P og Q er kontinuerlige og har kontinuerlige partiellderiverte av første orden. Men om funksjonene for eksempel har en singularitet i ett punkt, kan man alltid lage et lite hull i området rundt singulariteten og så regne med dette hullet i regningen.
Et korollar av Greens teorem lar oss beregne arealer ved å integrere passende størrelser rundt randen av et område. Det er bare å velge P og Q slik at integranden i dobbeltintegralet i Greens teorem blir like 1. (See E&P side 987.) Dette er grunnlaget for planimeterets virkemåte.
Planen var å vie uken til avsnitt 15.5 om flateintegralet. Men først måtte jeg gjøre meg ferdig med Greens teorem.
Sist torsdag nådde jeg vel å beskrive en tolkning av Greens teorem: Om vi lager et vektorfelt Pi+Qj så er randintegralet i Greens teorem et mål for i hvor stor grad vektorfeltet peker i samme retning som tangenten på randen. Og dette igjen gir et uttrykk for hvor mye rotasjon som er i feltet. Tenk på en skøyteløper som har mer medvind enn motvind i gjennomsnitt på en hel runde: Han må tro at vinden blåser i sirkel. Derfor vil integranden i dobbeltintegralet i Greens teorem gi et uttrykk for rotasjon, eller hvirvling, av vektorfeltet lokalt. (Til senere bruk kan vi legge merke til at dette er det samme som k-komponenten av curl(Pi+Qj) om vi går opp i tre dimensjoner!)
Den andre tolkningen av Greens teorem blir som et divergensteorem for feltet Pi+Qj, om vi først bytter om komponentene og snur fortegnet på den ene. Randintegralet måler liksom hvor mye som strømmer ut over kanten av området, mens integranden i dobbeltintegralet (divergensen!) derfor må tolkes som et mål for hvor mye vektorfeltet peker bort fra det lokale området (i gjennomsnitt).
Etter alt det tok vi fatt på avsnitt 15.5 om flateintegraler. Hovedidéen er å ta integralet som definerer overflaten til en parametrisert flate, og så putte inn funksjonen du vil integrere i integralet. (Dette kan tolkes som en grense av Riemannsummer som oppstår når parameterområdet deles opp i smårektangler.)
Jeg avsluttet med så vidt å nevne Stokes' teorem i rasende fart.
Dagen var stort sett viet til fluksintegralet, som involverer fluksen av et vektorfelt F gjennom en flate. Integranden blir F·n, hvor n er enhetsnormalen på flaten. Det vil si, det finnes to enhetsnormaler, en i hver retning. Å velge en vil si å velge en orientering av flaten. Noen flater (Möbiusbånd for eksempel: se frimerket på denne siden, eller hjemmesiden til Instituto de Matemática Pura e Aplicada i Brasil) er ikke orienterbare - de har bare én side. Snur du flatens orientering til det motsatte - det vil si, om du erstatter n med -n - så snur du også fortegnet på fluksintegralet.
Et viktig poeng når man skal stille opp og regne ut fluksintegraler, er at det man slipper regne ut et uttrykk for flateelementet dS, siden ds=|N|dudv hvor N er en normalvektor til flaten, men som ikke har lengde 1. Siden det gir n=N/|N|, vil |N| forkortes bort, noe som sparer en del arbeid og gjør integralene mindre kompliserte. N oppstår som kryssprodukt av de partiellderiverte av parametriseringen.
Planen er Stokes' og Gauss' teoremer - men mest Stokes.
Jeg åpnet med å minne om fundamentalteoremet fra Matematikk 1, teoremet med samme navn for integrasjon av gradientfelt, og Greens teorem som alle har det til felles at man integrerer en slags derivert over et området og får noe som kan uttrykkes ved det som skjer på randen. Teoremet til George Gabriel Stokes er et teorem til av samme sort. Sånn sett kan man si at curlen til et vektorfelt er bare det den må være, for at Stokes' teorem skal gjelde. Så hvis du synes definisjonen av curl F er litt rar, så er den ikke rarere enn den må være. Jeg utledet formen på den for spesialtilfellet når S er grafen til en funksjon z=f(x,y) og vektorfeltet ikke har noen k-komponent. Derfra til den fulle versjonen av Stokes' teorem (og definisjonen av curl) er det bare å gjøre det samme med hensyn på de to andre akseretningene og så kombinere resultatene. (Men dette er ikke så veldig viktig for dere akkurat nå.)
Akkurat som tilfelle var med Greens teorem, leder også Stokes' teorem til en tolkning av curlen som rotasjonen eller virvlingen av vektorfeltet. Så har da også begge de to navnene vært brukt om curlen.
Jeg nådde også å si noen ord om divergensteoremet, også kjent som Johann Carl Friedrich Gauss' teorem etter en av de mest produktive matematikere verden har sett. Det har også form av et integral av en derivert (divergensen) over et område, redusert til et integral over randen til området. En anvendelse av teoremet på tyngdefeltet viser at man kan bruke fluksintegralet av tyngdefeltet over en lukket flate for å finne den totale massen innenfor flaten.
Jeg skrev opp Gauss' teorem (divergensteoremet) og ga en bit av beviset. Som eksempel så vi på tyngdefeltet fra en eller flere punktpartikler, og generaliserte det kjapt til tyngdefeltet fra en kontinuerlig massefordeling. Som en anvendelse regnet jeg ut tyngdefeltet inne i en kulesymmetrisk massefordeling: Tyngdekraften i avstand r fra sentrum viser seg å være lik det den ville vært om all masse nærmere enn r var konsentrert i sentrum, og massen lenger ut ikke var der.
Jeg minnet om at curlen til en gradient er null, og at divergensen til en curl også er null. Begge deler følger ved direkte regning ut fra prinsippet om likhet av blandede partiellderiverte, men jeg antydet også en dypere, geometrisk årsak:
At curlen til en gradient er null følger av at randkurven til en flate er en lukket kurve (sammen med fundamentalteoremet og Stokes' teorem).
At divergensen til en curl er null følger av at overflaten til et legeme er lukket (sammen med Stokes' og Gauss' teoremer.)
Omvendingen av det første av disse to resultatene er: Dersom curlen til et vektorfelt er null, så er feltet et gradientfelt (konservativt). Dette følger ved Stokes' teorem så lenge enhver lukket kurve i området er randen til en flate i området.
Omvendingen av det andre resultatet er: Dersom divergensen til et vektorfelt er null, så er feltet en curl. Dette gjelder med tilsvarende forbehold, men faller utenfor pensum i dette kurset - så jeg lar det ligge.
Med dette anser jeg meg som ferdig med all teorigjennomgang. De forelesningene som gjenstår, kan vies til oppsummering, oppgaveregning og svar på spørsmål.