Bli ferdig med Taylorrekker, deretter avsnitt 11.5 og 11.6 om konvergenstester for rekker.
Litt mer om Taylorpolynomer, med restleddsformelen. Videre Taylorrekker og MacLaurinrekker. Som eksempel beregnet jeg Maclaurinrekken for eksponensialfunksjonen, og estimerte restleddet for å vise at rekken konvergerer. Jeg gjorde det same for cos og sin, men da uten alle detaljene. Jeg bare veivet litt med armene og sa at slik er det.
Transparentene (Taylor-polynomer, Taylors formel) jeg brukte i forelesningen (også ps, pdf).
Neste tema var konvergenstester, som står i avsnitt 11.5-11.7 i boka. Men jeg organiserer det hele i en litt annen rekkefølge.
Først noterte vi oss et viktig prinsipp: Enhver rekke med bare positive (eller skal vi si ikkenegative) ledd er enten konvergent, eller divergerer mot uendelig. Dette følger direkte av kompletthetsaksiomet for de reelle tall, siden delsummene for en slik rekke danner en voksende følge. For slike summer kan vi derfor tillate oss kort å skrive (...<uendelig) for konvergens og (...=uendelig) for divergens. Dette prinsippet forenkler konvergenstestene for slike rekker betraktelig: Det er bare å vise at summen ikke er uendelig, så konvergerer rekken.
Men ikke glem at det tilsvarende prinsipp ikke holder for rekker hvor ikke alle leddene er positive!
Konvergenstester for rekker med positive ledd kan også gi informasjon om konvergens for generelle rekker, fordi absolutt konvergente rekker er konvergente. Se Theorem 3 i 11.7, sammen med tilhørende definisjon, side 676-677.
Vår første konvergenstest er integraltesten (avsnitt 11.5). Jeg forklarte hvorfor den er riktig, og brukte den til å bestemme konvergens og divergens for p-rekker.
Jeg glemte å gå gjennom restleddsestimatet som kommer med integraltesten, så det får vi ta fredag.
Helt til slutt introduserte jeg sammenligningstesten og grensesammenligningstesten (avsnitt 11.6) i all hast.
NB! Glem aldri n-teleddstesten for rekker: Hvis ikke n-te ledd i rekken går mot null når n går mot uendelig, er rekken garantert divergent, og allverdens mer sofistikerte konvergenstester representerer bare bortkastet arbeid.
Jeg startet med å bevise setningen om at absolutt konvergens impliserer konvergens. Neste tema var restleddsestimatet for integraltesten (resten av 11.5), og jeg fortalte hvordan man kan få et betydelig bedre estimat for summen i eksempel 4 ved ikke bare å ta med n-te delsum, men også addere til middelverdien av øvre og nedre estimat for restleddet.
Deretter sammenligningstesten og grensesammenligningstesten (11.6), og litt om forholdstesten (11.7) - men foreløpig kun formulert for rekker hvor alle termene er positive. Jeg rakk ikke noen eksempler på bruk av forholdstesten - de får vi komme tilbake til i neste uke.
Flere konvergenstester (11.7). Eksempler på bruk av forholdstesten. Rottesten. Alternerende rekker og betinget konvergens (11.7). Ombytting av leddene i en rekke: Om rekken er absolutt konvergent forblir summen uforandret, men om den er betinget konvergent kan summen bli hva vi vil!
Transparentene med oversikt over konvergenstester: gif (1, 2), ps (full, forminsket), pdf.
Maple-regneark som demonstrerer hvordan man kan permutere en betinget konvergent rekke til å gi den summen man måtte ønske.
Hele kapittel 8, untatt 8.3 (L'Hôpitals regel), som vi har dekket tidligere. Først om ubestemte former (avsnitt 8.4): Grenser av type null ganger uendelig, uendelig minus uendelig, og de av typen f(x)g(x), som vi vanligvis skriver om til exp(g(x) ln f(x)) hvorpå vi håndterer grensen av g(x) ln f(x) først.
I et forsøk på å ta igjen et forsømt tema fra kapittel 7 sa jeg noen få ord om inverse funksjoner: Først det at en kontinuerlig og monoton funksjon definert på et intervall har en invers funksjon som også er monoton og kontinuerlig og definert på et lukket intervall. Dernest derivasjonsregelen for inverse funksjoner, som følger ved å derivere identiteten f-1(f(x))=x, under forutsetning at både f og f-1 er deriverbare. (At dette er tilfelle dersom f er deriverbar og f' ikke er null er ikke så vanskelig å se.)
Anvendelsene kom umiddelbart da jeg fortsatte med å innføre de inverse trigonometriske funksjonene arcsin, arccos, arctan og arccot, og beregne deres deriverte. Vi gjør vårt beste for å ignorere funksjonene sec, csc, arcsec og arccsc, siden disse med stor fordel kan uttrykkes ved cos, sin og arcsin.
Til sist innførte jeg de hyperbolske funksjonene cosh, sinh, tanh og deres omvendinger arcosh, arsinh og artanh, men det gikk over stokk & stein helt i slutten av timen.
Jeg brukte vel feil notasjon i timen på de siste tre: De skal altså hete arcosh, arsinh og artanh og ikke arccosh, arcsinh og arctanh. Årsaken er at «arc» i arcsin, arccos etc står for «arcus», eller bue(lengde) - siden disse funksjonene genererer tall som tolkes som vinkler (buelengde langs enhetssirkelen). Den tilsvarende tolkningen for de hyperbolske funksjonene er ikke en buelengde, men et areal mellom origo og hyperbelen x2-y2=1 (se boka, figur 8.5.2). Derfor altså «ar» for «areal», ikke «arc» for «arcus».
Kapittel 9 - integrasjonsteknikker: Substitusjon, delvis integrasjon (her kan vi kanskje skyte inn et bevis for Taylors formel), delbrøksoppspalting mm.
Litt om substitusjon sammen med bruk av integraltabeller (9.2), deretter delvis integrasjon (9.3) med et bevis for Taylors formel i integralformulering (se notatene fra 2000-10-19 og spesielt tranparenten jeg brukte da). Det vanskelige med Taylors formel i denne formuleringen er å oppdage den - når den først er kjent, er beviset et enkelt induksjonsbevis med bruk av delvis integrasjon.
Neste tema var integrasjon av rasjonale funksjoner ved delbrøkoppspalting (9.5). En rasjonal funksjon er en brøk der teller og nevner er polynomer. Delbrøkoppspalting er basert på faktorisering av polynomer, og dette er igjen basert på algebraens fundamentalsetning, som i sin reelle formulering sier at et reelt irredusibelt polynom ikke har høyere grad enn 2. (Et polynom er irredusibelt dersom det ikke kan skrives som produkt av to ikke-konstante polynomer.) Dermed kan ethvert reelt polynom faktoriseres i et produkt av irredusible polynomer, alle av grad 1 eller 2 (førstegradspolynomer er selvsagt alltid irredusible).
Den komplekse formuleringen av algebraens fundamentalsetning sier at et komplekst irredusibelt polynom ikke har høyere grad enn 1; ekvivalent, at ethvert ikkekonstant komplekst polynom har minst ett nullpunkt.
For øvrig er det vanlig -- i hvert fall i teoretiske betraktninger -- å begrense seg til å snakke om moniske polynomer, det vil si polynomer der den ledende koeffisienten (den foran leddet av høyest grad) er 1. Da er faktoriseringen av et generelt monisk polynom i irredusible moniske faktorer entydig, på samme måte som alle naturlige tall kan faktoriseres entydig i primfaktorer: Bare rekkefølgen på faktorene er ikke bestemt. Et generelt polynom kan alltid skrives som en konstant ganger et monisk polynom, og sistnevnte har så en entydig faktorisering.
Delbrøkoppspalting fortsatt (9.5 og 9.7): Avslutningen på torsdagsforelesningen ble kanskje veldig abstrakt, så her trakk jeg det hele ned på bakken igjen med et par eksempler. Fremgangsmåten for å integrere rasjonale funksjoner kan oppsummeres slik:
Til slutt ganske kort om integraler som involverer trigonometriske funksjoner (9.4) og enda kortere om trigonometriske subsitusjoner (9.7).
Kapittel 10 - polarkoordinater og kurver i planet.
Polarkoordinater. Men først litt fra 10.1, om kjeglesnitt, og hvordan lage komplette kvadrater for å skrive om en annengradsligning i x og y slik at du kan gjenkjenne den som ligningen for et kjeglesnitt.
Om ligningen inneholder produktledd xy, må vi i tillegg rotere koordinatsystemet -- men det faller utenfor pensum i denne omgang. Temaet dukker opp i Matematikk 3, til våren. Jeg feide også under teppet at noen annengradsligninger degenererer til å ha som løsning bare en eller to linjer, et punkt eller den tomme mengden.
Avsnitt 10.2, om kurver i polarkoordinater. Jeg regnet blant annet eksempel 8, hvor lærebokforfatterne farer med rent sprøyt: Det er ikke sant at man ikke kan finne de ekstra skjæringspunktene ut fra ligningene som er gitt. Det som er sant, at man ikke finner dem om man bare regner naivt uten å ta hensyn til at ett punkt i planet kan uttrykkes ved polarkoordinater på forskjellig måte. Jeg gjennomførte en mindre naiv utregning av de ekstra punktene, men gjorde desverre ikke fremstillingen så klar som jeg kunne ha ønsket.
Fra avsnitt 10.3 om arealberegninger i polarkoordinater nådde jeg bare å utlede integralformelen for arealet mellom en kurve gitt på polarkoordinater og origo.
Jeg vil starte med å beregne arealet begrenset av Pascals Limaçon r=a+b·sin(theta), der a>b>0.
Denne kurven ble kanskje først studert av Etienne Pascal, far til den adskillig mer berømte Blaise Pascal.
Kurver i planet (10.4 og 10.5) deriblant sykloiden (og den logaritmiske spiralen, samme sted). (Flere detaljer kommer...)
Avsnitt 11.8 og 11.9 - potensrekker.
Avsnitt 11.8, om potensrekker. Jeg har bare tatt for meg potensrekker utviklet om origo i denne omgang, og bevist (nesten rigorøst) eksistensen av konvergensradien R, slik at rekken konvergerer når |x|<R og divergerer når |x|>R. I praksis beregnes konvergensradien ved hjelp av forholdstesten, og jeg ga flere eksempler. (Det hender rottesten er mer egnet, som for eksempel for eksempel 3 side 684-685.) Skal du ha hele konvergensintervallet, er det viktig å sjekke endepunktene, siden den generelle teorien ikke sier noe om konvergens der.
Som ett eksempel tok jeg for meg rekken J0 som bærer Friedrich Wilhelm Bessels navn. Denne og de andre Besselfunksjonene oppsto først i studiet av perturbasjoner av planetbaner. (En perturbasjon er en liten forstyrrelse, som for eksempel påvirkningen fra andre planeter.)
Innenfor konvergensintervallet kan man finne den deriverte og integralet av summen av en potensrekke ved å derivere og integrere rekken leddvis: Den resulterende rekken har samme konvergensradius som originalen. Som et eksempel fant jeg først Taylorrekken for (1+x)a (binomialformelen, men jeg beviste ikke at den konvergerte), og brukte den til å finne en potensrekke for arcsin (sett a=-1/2, erstatt x med -x2, og integrer). Formelen står nederst på side 117 i Rottmann, i en litt annen formulering enn jeg brukte.
Mer om potensrekker. Entydighet av potensrekkerepresentasjon: Dersom en potensrekke konvergerer mot en funksjon f(x), er den Taylorrekken til f (i det punktet potensrekken er sentrert i, altså i c om vi har en potensrekke i x-c). Spesielt, om to potensrekker har samme sum har de like koeffisienter.
Beregninger med potensrekker (avsnitt 11.9): Er rekken alternerende kan vi selvsagt bruke det vanlige feilestimatet for alternerende rekker, men vi må passe nøye på (spesielt for store x) at vi er så langt ute i rekken at leddene avtar i tallverdi. Potensrekker kan multipliseres (samle sammen ledd av samme grad) og til dels divideres (skriv kvotienten som en potensrekke med ukjente koeffisienter, multipliser med nevneren, og sammenlign de resulterende rekkene. Resultatet er en følge av ligninger som kan brukes til å finne de ukjente koeffisientene.) Endelig bruk av potensrekker som et alternativ til L'Hôpitals regel.
Etter timen kom det spørsmål som tydet på at noen var litt ukjente med begrepene like og odde funksjoner. Med dette mener jeg funksjoner som har like eller odde symmetri: En funksjon f er like om den oppfyller f(-x)=f(x) for alle x, og odde om den oppfyller f(-x)=-f(x). Den deriverte av en like funksjon er odde, og den deriverte av en odde funksjon er like. Og MacLaurinrekken til en like funksjon inneholder bare like potenser av x, og Maclaurinrekken til en odde funksjon inneholder bare odde potenser av x. Dette kan ofte spare en god del arbeid, ved at man ikke kaster bort tid på å bruke eller finne koeffisienter som viser seg å være null.
