MA2104: forelesninger 2007

Informasjon om forelesningene flyttes hit omtrent en uke etter at forelesningen har vært.

• Uke 34 var mest viet kapittel 1:
  Først om komplekse tall og regning med disse, og litt om komplekse funksjoner, som vil være et hovedtema gjennom kurset.
• Uke 35 avsluttet jeg kapittel 1 og kom et lite stykke inn i kapittel 2: Bare så vi har snakket om definisjonen av grenser for komplekse tall.

  Jeg demonstrerte hvordan Complex Mapping Viewer (krever en nettleser med java) kan brukes til å visualisere noen vanlige komplekse avbildninger. Jeg fortalte også litt om hvordan den komplekse logaritmen er brukt til å skape en forbedret utgave av ett av M. C. Eschers berømte bilder. (Det er for øvrig håp om at vi kan få en av forfatterne, Hendrik W. Lenstra, til NTNU i januar for å snakke om dette.)

• Uke 36 gjorde jeg meg ferdig med kapittel 2, til og med 2.4 (2.5 og 2.6 er ikke pensum). Jeg har definert grensebegrepet og kontinuitet, og gitt de viktigste reglene for dette. Denne delen av teorien er til forveksling lik tilsvarende for reelle funksjoner, med unntak av behandlingen av uendelig: I motsetning til det reelle tilfellet hvor vi typisk regner med både +∞ og −∞, opererer vi i kompleks analyse bare med én uendelighet ∞. Å si at en størrelse konvergerer med ∞ betyr bare at modulen vokser over alle grenser, og å snakke om en grense når z→∞ betyr bare å snakke om grensen når |z| vokser over alle grenser.
  Jeg måtte også påpeke en feil i bokens Teorem 1 side 82: Den siste delen av teoremet stemmer ikke slik den står. Man må i tillegg anta at f er kontinuerlig i w₀ for at teoremet skal stemme. (Den andre likheten i (6) sier akkurat dette, faktisk.)
  Når det gjelder deriverbarhet avviker jeg fra boken på et lite men vesentlig punkt: Jeg definerer at en funksjon er analytisk i en åpen mengde dersom den er deriverbar i alle punkter i mengden. Jeg sier også at den er analytisk i et punkt om den er deriverbar i en omegn om punktet. Men jeg krever ikke at den deriverte skal være kontinuerlig, slik boken gjør. Vi skal se etterhvert at den likevel blir kontinuerlig uansett.
  Til slutt tok jeg for meg Teorem 4 side 96 i boken. En betydelig del av påstanden i dette teoremet er på sett og vis en nokså enkel observasjon om implisitt derivasjon: Om f(g(z))=h(z) og alle funksjonene som inngår er deriverbare, så gir kjerneregelen uten videre at f′(g(z))g′(z)=h′(z), og så lenge f′(g(z))≠0 så kan vi løse denne ligningen og finne g′(z). Den ikketrivielle, og dermed interessante, delen av resultatet er at det ikke er nødvendig å anta at g er deriverbar. Det er nok å anta den er kontinuerlig, så følger deriverbarheten automatisk. Jeg ble dessverre stående fast i en utregning på slutten. Her er løsningen på dette problemet.
• Uke 37 begynte jeg på mitt eget notat. Tirsdagen og ca halve torsdagen gikk med til kapittel 1 i notatet, om topologi i planet. Jeg forventer ikke at dere skal kunne gjengi noen beviser fra dette kapitlet, men jeg håper dere får med noen av hovedidéene, og selve kompakthetsbegrepet og bruken av det er viktig.
  Deretter startet vi på kapittel 2 i notatet, om integrasjon langs veier i det komplekse plan: Dette er sentralt stoff som ligger til grunn for alt som kommer etterpå. Jeg nådde akkurat å definere begrepet kurve (for oss skal dette bety en parametrisk kurve, altså en kontinuerlig avbildning fra et intervall [a,b] til det komplekse plan) og vei (kurve med endelig lengde). Jeg har også definert integralet av en funksjon langs en vei, og selvsagt det sentrale begrepet buelengde.
• Uke 38 fortsatte jeg med kapittel 2 i notatet mitt. Jeg sannsynliggjorde eksistensen av integralet når integranden er kontinuerlig (jeg hoppet over noen tekniske detaljer som er å finne i notatet), og ikke minst viste jeg noen regneregler: Hvordan vi kan regne ut integralet om veien er stykkevis glatt, og hvordan vi kan regne det ut om integranden har en antiderivert (essensielt differensial- og integralregningens fundamentalteorem i kompleks funksjonsteori). Spesielt beviste jeg Teorem 1 side 164 i læreboken.
  Torsdagen gikk med til å fortelle om homotopier, altså kontinuerlige deformasjoner av veier, og å bevise det aller mest sentrale teoremet i hele pensum, nemlig Cauchys integralteorem. (Jeg gjorde dette bare for Lipschitz-kontinuerlige homotopier. Du kan lese i notatet (om du vil) om hvordan man kan utvide resultatet til generelle homotopier, men dette er ikke så fryktelig viktig egentlig – ettersom de fleste homotopier vi konstruerer likevel er Lipschitz.) Jeg nådde ikke frem til versjonen for lukkede veier, men fikk i hvert fall dekket versjonen med fastholdte endepunkter.
• Uke 39: Først mer om Cauchys integralteorem. Jeg sa noe mer om homotopi og enkeltsammenhengende områder, og ga noen anvendelser av integralteoremet. før vi fortsatte med Peter Lindqvist vikariere for meg på torsdag, og fortalte om indeksen (vindingstallet) til en kurve og ikke minst Cauchys integralformel, både i grunnleggende og generalisert form.
• Uke 40: (Jeg skriver dette litt for lenge etterpå, så det er sannsynlig at jeg overser noe.) Jeg samlet en del løse tråder fra kapittel 3 i boken, og endte med den globale Cauchyformelen fra notatet mitt.
• Uke 41: Følger og rekker. Jeg foreleste bare deler av 4.1, regner med at dere leser resten på egenhånd. Teorien er til forveksling lik teorien for reelle følger og rekker. Cauchy-produktet venter til vi kan bli motivert for det av potensrekker. Jeg har hoppet elegant bukk over 4.2, og i stedet innført begrepet uniform konvergens i forbindelse med potensrekker: Jeg har vist at en analytisk funksjon kan representeres ved sin Taylorrekke, og jeg har omvendt vist at grensen av en konvergent potensrekke er analytisk, og at koeffisientene nettopp er koeffisienten i Taylorrekken til summen. Sluttresultatet er at jeg har dekket 4.3 adskillig grundigere enn 4.2, og jeg har til og med dekket mye av 4.4.
• Uke 42: Tirsdag tok jeg opp Cauchy-produktet, som var blitt hengende igjen fra avsnitt 4.1. Fra avsnitt 4.3 sto vi igjen med Cauchy–Hadamards formel, så jeg beviste den likegodt. Videre har jeg konsolidert stoffet i 4.2 noe, ved å vise resultatene om konvergens av integraler når integranden konvergerer uniformt og forklare igjen hvordan dette brukes på Taylorrekker og andre potensrekker. Jeg har forresten helt uteglemt Weierstrass's M-test: Det er like greit at dere leser den selv. Torsdag så vi på avsnitt 4.5 om Laurentekker. Jeg avsluttet med noen eksempler, og sa litt om det mest interessante tilfellet, nemlig analysen av en analytisk funksjon i en omegn om et isolert singulært punkt.
• Uke 43: Vi startet på Fourierrekker. Boken gjør reelle Fourierrekker først og deretter komplekse. Men disse er bare to notasjoner for akkurat samme sak, så jeg begynte med å etablere sammenhengen mellom de to synspunktene. I praksis vil det si at jeg foreleste avsnittene 7.2 og 7.5 sammen. Men jeg beviste konvergensteoremet for Fourierrekker slik Chernoff gjør det i artikkelen sin. Jeg har vel dekket store deler av kapittel 7, tro det eller ei.
• Uke 44: Kompleks funksjonsteori igjen. Vi så på klassifikasjonen av isolerte singulariteter, mest etter mine notater, og kom godt i gang med residueregning etter kapittel 5. («Residue» kan passende uttales «residy» etter fransk uttale. Jeg er kommet til at dette lånordet bør få beholde sin utenlandske stavemåte, analogt med «clutch» og «pub» for ikke å si «fondue». Nå skal man visstnok skrive «fondy», men det må være fordi ordet er blitt så godt innarbeidet i norsk språk. Jeg synes også det fungerer best som intetkjønnsord. Kanskje kunne vi sagt «rest», men da skjønner vel ingen hva vi snakker om.)
• Uke 45: Løsning av partielle differensialligninger ved separasjon av variable. Vi tok for oss løsningen av bølgeligningen og varmeligningen ved separasjon av variable.
• Uke 46: Tirsdag avrunder jeg residuregningen. Jeg har skrevet en énsides håndskrevet oppsummering^(pdf) av residuteorien. Kanskje den er til hjelp for noen. Torsdag tar vi for oss løsningen av Laplace's ligning i et rektangel.
• Uke 47 var siste forelesningsuke. Jeg brukte den til å samle løse ender, ting jeg kanskje har glemt, og diverse oppsummering.

Harald Hanche-Olsen Oppdatert: 2007–11–29 15:47