(Jeg kom ikke i gang med denne siden før mot slutten av annen uke, så detaljene i starten er litt vage.
Introduksjon. Vektorer i planet (avsnitt 12.1) og i rommet (12.2), kryssprodukt (12.3), litt om linjer og plan (12.4).
Etter en introduksjon til kursinnholdet gikk tiden med til å diskutere vektorregning i planet og i rommet (12.1-2).
I løpet av introduksjonen nevnte jeg at noen kursets høydepunkter vil være noen teoremer som generaliserer differensial- og integralregningens fundamentalteorem: George Greens teorem, divergensteoremet (også gjent som Johann Carl Friedrich Gauss teorem) og George Gabriel Stokes teorem.
Gauss og Stokes teoremer er med å gi mening til James Clerk Maxwells ligninger, og trengs for å få til overgangen mellom den differensielle formen og integralformen av disse ligningene.
Lenken over til Maxwells ligninger kom fra Eric Weisstein's Treasure Trove of physics. Der finner du også en annen biografi over Maxwell.
Dagen startet med at Ivar Mjøen holdt en nokså omfattende innføring i opplegget for øvinger i smågrupper. Mjøen er rektor ved Strinda VGS, men jobber for tiden med et forskningsprosjekt «Kvalitetsutvikling i opplæring» i Interreg-regi.
Deretter var det min tur, og jeg gikk videre med vektorregningen og fortalte kanskje mer om kryssproduktet (avsnitt 12.3) enn noen ønsket å vite. Om jeg husker rett (jeg skriver dette en uke etterpå) nådde jeg å si en del om parametriserte linjer og plan (12.4) før tiden plutselig var ute, slik det gjerne skjer.
Mer om linjer og plan (avsnitt 12.4), kurver i rommet (12.5), sylindere og kvadratiske flater (12.7) og sylinderkoordinater (12.8).
Jeg gjorde meg ferdig med linjer og plan (12.4), både i parametrisert utgave og som ligninger. Men slutten av avsnitt 12.4, fra overskriften «Lines, Planes, and Linear Mappings» side 738 forbigikk jeg i taushet. Det er uansett stoff som hører mer naturlig hjemme i Matematikk 3.
Neste tema var kurver og bevegelse i rommet (12.5): Jeg introduserte vektorvaluerte funksjoner, som i grunnen ikke er annet enn funksjoner som har vektorer som verdier i stedet for reelle tall. Komponentfunksjonene gir hver komponent av denne vektoren for seg, så man kan godt tenke på en vektorvaluert funksjon som en samling bestående av to eller tre reelle funksjoner. Derivasjon og integrasjon av slike foregår ved at man deriverer eller integrerer komponentvis. Pass på integrasjonskonstanten når du beregner et ubestemt integral av en vektorvaluert funksjon: Hver komponentfunksjon får sin egen integrasjonskonstant, som er uavhengig av de andre komponentene. Men du kan også tenke på det som én integrasjonskonstant som er en vektor - en konstant for hver komponent.
Jeg har nok glemt å nevne derivasjonsformlene midt på side 745. Nummer 3, 4, og 5 er omtrent som du kunne forvente, gitt at både multiplikasjon med en skalar, indreproduktet og kryssproduktet virkelig er en slags produkter, som gir tre varianter av produktregelen for derivasjon. Men i nummer 5 må du huske på at kryssproduktet ikke er kommutativt.
Det meste av forelesningen gikk med til å diskutere sylinderflater og kvadratiske flater (avsnitt 12.7). Sylinderflater er forholdsvis lette å forstå fordi de oppstår ved å parallellforskyve en linje langs en plan kurve. Når denne linjen er parallell med en koordinatakse, vil den tilhørende koordinaten ikke forekomme i flatens ligning (om den da har en ligning). Dette er er grei måte å gjenkjenne sylinderflater på.
Et gjennomgangstema i behandlingen av kvadratiske flater var at det hjelper på forståelsen å se hva som skjer om man lar en av koordinatene være konstant: Da vil ligningen beskrive en annengradskurve i de to andre koordinatene: Vanligvis en ellipse, en parabel eller en hyperbel. Flatene får navn deretter: Ellipsoider, elliptiske og hyperbolske paraboloider, og en- og tobladete elliptiske hyperboloider. (Når de to halvaksene er like, bytter vi ut ordet «elliptisk» med forstavelsen «rotasjons-». En rotasjonsellipsoide er en ellipsoide hvor to av de tre halvaksene er like. Et eksempel er jordkloden, som i følge dagens beste modell er en rotasjonsellipsoide med en polakse som er litt kortere enn ekvatorradien.)
Jeg rakk å definere sylinderkoordinater (12.8) og gi et par eksempler på bruken av dem før timen tok slutt.
Jeg brukte et Maple-regneark ganske mye i forelesningene denne uken.
Ferdig med kapittel 12, startet på kapittel 13. Funksjoner av flere variable (13.2), grenser og kontinuitet (13.3), partiellderivasjon (13.4). Stoppet et stykke inne i avsnitt 13.4.
En litt mer detaljert beskrivelse kommer når jeg rekker å skrive den, men to Maple-regneark er tilgjengelige: Det første som jeg brukte både mandag og torsdag, og det andre som jeg brukte torsdag.
13.5 - 13.7: Om ekstrempunkter i flere variable, differensialer, og kjerneregelen.
På dette tidspunkt fant jeg desverre ikke lenger tid til å vedlikeholde denne siden. Men jeg avvek vel ikke i enorm grad fra hva jeg gjorde i fjor, så du kan få en viss idé om du kikker på fjorårets notater, spesielt femte til åttende uke.
Jeg skal nå (uka før påske) forsøke å blåse nytt liv i disse notatene. (Gå tilbake.)