For denne perioden klarte jeg desverre ikke finne tid til å vedlikeholde disse sidene. Men jeg avvek vel ikke i enorm grad fra hva jeg gjorde i fjor, så du kan få en viss idé om du kikker på fjorårets notater, spesielt femte til åttende uke.
Men jeg kan likevel gi en veldig kort oppsummering: Vi har arbeidet oss gjennom resten av kapittel 13, hele kapittel 14 og såvidt begynt på kapittel 15.
I kapittel 13 var det absolutte høydepunkt avsnitt 13.9 om Joseph-Louis Lagranges multiplikatordmetoder for ekstremverdiproblemer med føringer.
Kapittel 14 handler om multiple integraler: Dobbeltintegraler (over rektangulære såvel som over mer generelle områder), og trippelintegraler for områder i rommet. Anvendelser inkluderer integrasjon av forskjellige typer tetthet for å finne total mengde av et eller annet: Integrasjon av massetetthet gir masse, integrasjon av ladningstetthet gir ladning, osv. For ikke å snakke om det (litt trivielle, men veldig nyttige) faktum at integrasjon av konstanten 1 gir areal (for dobbeltintegraler) eller volum (for trippelintegraler). Vi har også vært innom bruk av polarkoordinater (for dobbeltintegral) og sylinder- og kulekoordinater (for trippelintegral). Endelig har vi sett på parametriske flater og hvordan man beregner arealet av slike.
Avsnitt 14.9, om bruken av mer generelle koordinatsystemer, er ikke med i pensum.
Kapittel 15 er stedet hvor alle trådene samles (bortsett fra Lagrangemetoden fra kapittel 13, som står som en fjelltopp isolert fra resten av pensum.) Et samlende tema er vektorfelter og sammenhengen mellom derivasjon og integrasjon i flere variable.
En analogi fra envariabelteorien kan hjelpe til å gjøre dette klart. New York City Marathon starter på Staten Island og krysser broen Verazano Narrows til Long Island. Med over ti tusen deltagere blir det trangt på broen, selv om de har seks (eller åtte?) kjørefelt til rådighet - du får et visst inntrykk fra bildet øverst på websiden. Hvis du lar x angi en vilkårlig posisjon på broen og f(x) være fluksen av løpere forbi x på et gitt tidspunkt - altså antall løpere som passerer per sekund - og spør hva integralregningens fundamentalsetning
sier oss, så er i hvert fall tolkningen av venstresiden klar: Den måler hvor mange løpere som netto forlater intervallet [a,b] per tidsenhet: f(b) forlater intervallet i den ene enden, mens f(a) løper inn i det på den andre enden. Vi ledes til den konklusjon at høyresiden må være et lokalt mål på det samme: f'(x)dx måler hvor mange løpere som forlater et infinitesimalt intervall rundt x. Eller sagt på en annen måte: Om f'(x)>0 så er det en større tendens til at løpere i nærheten av x forlater x enn til at de ankommer. Vi fristes til å kalle f' for divergensen av fluksen f. Vi kunne nesten definere f' som den størrelsen som må stå under integraltegnet for å gjøre fundamentalsetningen sann.
Dette kan virke kunstig akkurat nå, men som vi skal se er analogien eksakt: Divergensen av to- og tre-dimensjonale vektorfelt er akkurat det som skal integreres for å fortelle hvor mye som strømmer ut av et vilkårlig område. Men foreløpig får dere bare ta definisjonen slik den står i avsnitt 15.1 for god fisk.
Curlen til et tredimensjonalt vektorfelt er et nytt vektorfelt som gir en slags indikasjon på hvor mye det opprinnelige vektorfeltet snurrer rundt. Den har også en todimensjonal analogi, som vi skal støte på i Greens teorem om ikke så lenge.