Introduksjon.
Kapittel 2: grenser, deriverbarhet og kontinuitet.
Avsnitt 8.3 (i kapittel 8): L'Hôpitals regel
Siden jeg hadde litt filosofisk vinkling på denne forelesningen, kan det være på plass med et par linker til materiale for den ekstra interesserte. Eugene Wigners artikkel The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences fra 1960 er en klassiker, og dersom den gir mersmak kan du også kikke på R. W. Hammings artikkel The Unreasonable Effectiveness of Mathematics fra 1980.
Jeg var også inne på at grensebegrepet har en lang historie. Du kan lese mer om matematikkens historie i The MacTutor History of Mathematics archive. Når jeg lager lenker til berømte matematikeres navn nedenfor, er det stort sett der jeg har funnet dem. Jeg kan jo starte med Karl Weierstrass (1815-1897), som gis æren for grensebegrepet slik vi kjenner det. Et interessant sitat:
In 1861 his emphasis on rigour led him to discover a function that, although continuous, had no derivative at any point. Analysts who depended heavily upon intuition for their discoveries were rather dismayed at this counter-intuitive function.
Noe å fundere på?
Nok om det. I dagens forelesning kom jeg fram til den rigorøse (epsilon-delta) definisjonen av grensebegrepet. Som motivasjon brukte jeg en analogi med garantier i kontraktsforhold.
Regler for grenseberegninger, inklusive L'Hôpitals regel, som Guillaume De l'Hôpital i virkeligheten lærte av Johann Bernoulli (hele historien står å lese i hans biografi). Også skviseloven (side 79).
Bli ferdig med kapittel 2.
Kapittel 3 til og med 3.8.
Fra avsnitt 2.3: De "klassiske" trigonometriske grensene med anvendelse på derivasjon av sinusfunksjonen (som egentlig står i avsnitt 3.7, side 164). Dessuten kort om ensidige og uendelige grenser (les det selv om det ikke er klart). Jeg glemte å nevne det viktige resultatet at eksistensen av en grense er det samme som at de to ensidige grensene eksisterer og er like hverandre (side 82).
Fra avsnitt 2.4: Om kontinuitet - i et punkt, i et åpent intervall, fra høyre og venstre, og i et lukket intervall. Eksistens av maksimum og minimum for kontinuerlige funksjoner på et lukket intervall (egentlig i avnitt 3.5 side 142). Alle grensereglene gir opphav til regler om kontinuitet: Setter man sammen kontinuerlige funksjoner ved addisjon, multiplikasjon, divisjon (så lenge nevneren ikke er null) og komposisjon får man nye kontinuerlige funksjoner. Skjæringssetningen (the intermediate value property).
Startet så vidt på kapittel 3, med en geometrisk tolkning av deriverbarhet: At f er deriverbar i a betyr at grafen til f ser ut som en rett linje om man ser på den i mikroskop nær x=a.
Dagens utfordring var å si så mye om avsnittene 3.1-3.8 at dere klarer neste ukes øvinger. Avsnitt 3.8 om implisitt derivasjon og beslektede rater er nok det nyeste og mest uvante.
Jeg startet med å gjenta det siste poenget fra torsdag, og la til hvordan figuren viser at en deriverbar funksjon er kontinuerlig. Deretter gikk jeg gjennom noen forskjellige notasjoner for den deriverte, hvor spesielt dy/dx er magisk (og som all magi er denne notasjonen både nyttig og farlig). Vi besøkte de viktigste derivasjonsreglene, og tok deretter for oss implisitt derivasjon, med Descartes folium som eksempel. Vi fant at grafen har en horisontal tangent i (x,y)=(21/3,22/3).
Litt terminologi i forbindelse med implisitt derivasjon: En identitet er en ligning som holder for alle valg av variablene i ligningen, enten fordi dette kan bevises (som for alle de vanlige trigonometriske identitene) eller fordi vi har gjort antagelser som gjør ligningen til en identitet.
Før vi kan derivere en ligning implisitt for eksempel, må vi først gjøre en antagelse som gjør ligningen til en identitet. For eksemplet med Descartes folium betydde dette at vi måtte anta at y avhenger av x på en slik måte at ligningen ble en identitet.
Jeg endte med noen få ord om optimalisering - det vil si om å finne minimum og maksimum for funksjoner. Jeg konsentrerte meg om kontinuerlige funksjoner på lukkede intervaller, siden vi vet at slike funksjoner er garantert å oppnå minimum og maksimum. De eneste mulige kandidater for ekstrempunkter (det vil si minimums- eller maksimumspunkter) er:
Husk at under ingen omstendighet må du glemme å sjekke endepunktene!
Bli ferdig med kapittel 3.
Kapittel 4 til og med 4.3.
4.4-4.7 er selvstudium!
Litt mer om implisitt derivasjon og relaterte rater: Jeg regnet et eksempel der vann renner ut av bunnen av et kremmerhus med kjent rate målt i volum per tidsenhet, og oppgaven var å finne ut hvor fort vannstanden synker.
Litt mer om hvorfor skjæringssetningen er sann: Den er jo feil om man bare har rasjonale tall til rådighet. Beviset for skjæringssetningen benytter gjentatt oppdeling av intervallet sammen med en viktig egenskap som reelle tall har, og som ikke deles av de rasjonale tall: Enhver monoton (voksende eller avtagende) tallfølge er enten konvergent, eller divergerer mot pluss eller minus uendelig. Metoden egner seg også til å løse ligninger numerisk [en kjekk liten programmeringsoppgave], selv om for eksempel Newtons metode konvergerer raskere når den er anvendbar.
En sak jeg ikke nevnte i forelesningen: Setningen om eksistens av maksimum for en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall kan også vises ved gjentatt oppdeling av intervallet. Men beviset blir litt mer subtilt, og det leder heller ikke til noen anvendbar algoritme for å bestemme maksimumspunktet.
Fra kapittel 4 brukte jeg en god del tid på lineær tilnærming. Jeg skrev opp sekantsetningen (the mean value theorem) og viste hvordan den kan anvendes til å estimere feilen ved lineær tilnærming. [Denne konkrete anvendelsen av sekantsetningen er ikke pensum, men prinsippet om at sekantsetningen kan brukes til estimering må dere forstå.] Som et eksempel regnet jeg ut tredjeroten av 1001, uten kalkulator selvsagt. [Svaret er 10+1/300, som overestimerer svaret med ikke mer enn 1/450000.]
Mer om konsekvensene av sekantsetningen: Funksjoner med null derivert, med like deriverte, og (strengt eller svakt) voksende/avtagende funksjoner. Jeg forklarte hvordan sekantsetningen følger av Rolles teorem, som igjen følger av setningen om eksistens av minimum og maksimum for kontinuerlige funksjoner på lukkede intervaller.
Jeg glemte, eller rakk ikke å si, noen ord om differensialer. (Oppfunnet av Gottfried Wilhelm von Leibniz.)
En kort introduksjon til babyloniernes metode for å finne kvadratrøtter (selv om jeg ikke er helt sikker på at det er historisk korrekt at babylonierne hadde denne algoritmen), og Sir Isaac Newtons metode fra avsnitt 3.9. Newtons metode er motivert ut fra idéen om at deriverbare funksjoner er nesten lineære: Om f er kontinuerlig deriverbar nær et av sine nullpunkt og f' ikke er null der, er det ikke urimelig å vente at tangenten i et punkt nær nullpunktet ligger så nær grafen til f at den skjærer x-aksen meget nær nullpunktet. Newtons metode gir da også en følge som konvergerer svært raskt mot nullpunktet til f, men garantien gjelder bare dersom vi starter nær nok nullpunktet. (Ellers kan den divergere, eller lede oss ut av definisjonsområdet til f, eller dividere med null, eller konvergere mot et annet nullpunkt enn det vi hadde tenkt oss.)
For øvrig (og det kan dere lett sjekke selv) får vi babyloniernes metode for å finne kvadratroten av a om vi bruker Newtons metode på funksjonen f(x)=x2-a.
Kapittel 5, om integrasjon. Til og med 5.8, håper jeg.
Induksjonsbevis!
Noe mer om Newtons metode: En rask analyse av hvorfor den konvergerer så raskt dersom f' ikke er null ved nullpunktet til f, og et eksempel som viser at den konvergerer langsommere dersom f'(r)=0 der r er nullpunktet. (Det kan hende den ikke konvergerer i det hele tatt, i dette tilfellet.) Jeg gikk også gjennom et par eksempler som viser at metoden kan konvergere mot et annet nullpunkt enn det du siktet etter, eller kan divergere, dersom du ikke velger et startpunkt nær nok nullpunktet. (Vi har ikke til fulle analysert hva som er «nær nok», men i praksis blir det fort opplagt om man startet for langt unna.)
Før pausen fikk vi besøk av Nablas terrorgruppe, som med noe blandet hell forsøkte å skremme forsamlingen til å synge «Theodor».
Neste tema er den antideriverte (fra avsnitt 5.2). Jeg påpekte at den er entydig (bortsett fra en additiv konstant), dersom den finnes, i hvert fall så lenge vi holder oss til funksjoner definert på et intervall. (Jeg sa det ikke i forelesningen, men er funksjonen definert på en union av intervaller, kan forskjellen mellom to antideriverte være forskjellige konstanter på hvert av delintervallene.) Den antideriverte til f kalles også det ubestemte integralet til f, med den vanlige notasjonen. Jeg introduserte også teknikken med substitusjon (avsnitt 5.7), som hverken er mer eller mindre enn kjerneregelen i revers. Men bruker man differensialnotasjon er den lettere å gjennomføre rent formelt, samtidig som metoden virker noe mer «magisk» i den forstand at det er lett å miste oversikten over hvorfor den er riktig.
Integralet av xn er fra gammelt av kjent som ingeniørintegralet. Untaket er når n=-1, da det er kjent som overingeniørintegralet.
Først litt mer om integrasjon ved substitusjon (avsnitt 5.7), og noen bemerkninger om hastighet og akselerasjon og vertikale kast (avsnitt 5.2).
Deretter innførte jeg det bestemte integralet ved konvergens av Riemannsummer, først motivert ved forsøkene på arealberegninger ved å under- og overestimere arealet under en graf ved hjelp av rektangler basert på partisjoner av et intervall. (Jeg nådde akkurat ikke å innføre notasjonen for det bestemte integralet, men den kjenner dere jo fra før.)
Riemannsummene var nok for øvrig ett av de mindre bidragene til matematikken fra Georg Friedrich Bernhard Riemanns hånd.)