Verhulsts dynamiske system
Dette Maple-dokumentet ble første gang brukt i en forelesning i dynamiske systemer, 1998-01-30.
Dokumentasjonen er det så som så med (dokumentasjon? hva er det?), men om du var tilstede har du forhåpentlig oppfattet nok til å kunne eksperimentere litt på egen hånd.
-
Definisjoner og innledende manøvrer
> restart; > Verhulst:=r->unapply((1+r)*x-r*x^2,x): 'Verhulst(r)'=Verhulst(r); > fikspunkter=solve(Verhulst(r)(x)=x,x); > plot([x->x,seq(Verhulst((3+i)/4),i=0..9)],0..4/3,color=black); 
>
-
Iterasjoner
-
Numerisk
-
Implementasjon
funiter(f,x0,n) produserer sekvensen x0,f(x0),f(f(x0)),...,f@@n(x0).
> funiter:=proc(f,x0,n)
local result, x, i;
x:=x0; result:=x;
for i from 1 to n do
x:=f(x);
result:=result,x;
od;
result;
end:
> funiter(Verhulst(1.8),0.5,30); 
(1.2.1.1) > funiter(Verhulst(1.99),0.5,30); 
(1.2.1.2) > funiter(Verhulst(2.01),0.5,30); 
(1.2.1.3) > funiter(Verhulst(2.05),0.5,30); 
(1.2.1.4) > funiter(Verhulst(2.3),0.5,30); 
(1.2.1.5) > funiter(Verhulst(2.5),0.5,30); 
(1.2.1.6) > funiter(Verhulst(3.0),0.5,60); 
(1.2.1.7) -
-
Litt analyse
> D(Verhulst(r)); %(1); > 
(1.2.2.1) Fikspunktet i x=1 er stabilt for r mellom 0 og 2, men blir ustabilt for r>2.
NB! Flere av kommandoene nedenfor referererer til resultatet av forgjengeren (%), så de må evalueres i rekkefølge!
> (Verhulst(r)@@2)(x); 
(1.2.2.2) > factor(%-x); 
(1.2.2.3) > %/(x*(x-1)); 
(1.2.2.4) > c2:=[solve(%=0,x)]: `2-sykel`=op(c2); 
(1.2.2.5) > Dc2:=D(Verhulst(r)@@2)(c2[1]); 
(1.2.2.6) > Dc2:=expand(Dc2); 
(1.2.2.7) For at
skal ligge mellom 
og 1 må 
ligge mellom 4 og 6, så 
må ligge mellom 2 og 
.
> sqrt(6):%=evalf(%); 2-sykelen er stabil for r fra 2 til 2.4494..., og ustabil deretter.
Ved den kritiske grensen bifurkerer den til en 4-sykel.
>
-
Grafisk
-
Implementasjon
> with(plots): itpairs(x0,x1,x2,...) produserer sekvensen [[x0,x0],[x0,x1]],[[x1,x1],[x1,x2]],...
> itpairs:=proc()
local result, p;
p:=[args];
result:=[p[1],p[2]];
while nops(p)>2 do
p:=p[2..nops(p)];
result:=result,[p[1],p[1]],[p[1],p[2]];
od;
result;
end:> iterplot:=proc(f,J,x0,M,N)
local x;
x:=[funiter(f,x0,N)];
display([
plot([t->t,f],J,color=black),
pointplot([itpairs(op(x))],color=blue,style=LINE),
pointplot([itpairs(op(x[M..N]))],color=red,style=LINE)]);
end:
> iterplot(Verhulst(1.8),0..4/3,0.2,30,40); 
> iterplot(Verhulst(2.3),0..4/3,0.2,30,40); 
> iterplot(Verhulst(2.4),0..4/3,0.2,30,40); 
> iterplot(Verhulst(2.5),0..4/3,0.45,30,40); 
> iterplot(Verhulst(3.0),0..4/3,0.2,130,160); 
> -
-
-
Itererte funksjonsgrafer
> plot([x->x,Verhulst(2.4)@@2],0..4/3); 
> plot([x->x,seq(Verhulst((3+i)/4)@@2,i=0..9)],0..4/3,color=black); 
> plot([x->x,Verhulst(2.5)@@4],0..4/3); 
> plot([x->x,seq(Verhulst((3+i)/4)@@4,i=0..9)],0..4/3,color=black); 
>