75042 Partielle differensialligninger

Oppgavesett #2 (til 1997–09–16 ) — løsningsforslag

De fleste oppgavene denne gang var hentet fra Fritz John (FJ) side 18–19.

FJ–1(a): Vi er gitt u_{x} + u_{y} = u^{2} med u(x, 0) = h(x).

De karakteristiske ligningene blir

ẋ = 1, ẏ = 1, ż = z^{2}.

Jeg pleier å organisere dette litt annerledes i praktisk regning enn i den teoretiske beskrivelsen av metoden: Spesielt har vi litt frihet i valget av parametrisering av de karakteristiske kurvene, i det vi kan velge punktet s = 0 fritt på kurven.^{1} I praksis betyr det at en av de tre integrasjonskonstantene i den generelle løsningen av de karakteristiske ligningene er fritt valgbar. Jeg bruker gjerne det til å velge parameteren slik at vi har s = 0 der initialbetingelsen er gitt.

For dette problemet betyr det at vi skriver

x = s + ξ, y = s, z = \frac{1}{C − s}

for løsningen, der ξ og C er integrasjonskonstanter. (z-ligningen er separabel. Om du har glemt hvordan du løser separable diff-ligninger, så løp, ikke gå, til nærmeste Edwards og Penney eller Kreyzsig eller et tilsvarende verk og lær det på ny. Men la meg minne deg på at ż = z^{2} skrives formelt som z^{−2}dz = ds, hvor man setter et integraltegn foran på begge sider og får −z^{−1} = s−C.)

Når s = 0 har vi da (x, y) = (ξ, 0), og initialbetingelsen u(x, 0) = h(x) sier at vi skal ha z = h(ξ) i dette punktet. Med andre ord må 1/C = h(ξ), så C = 1/h(ξ). Videre er ξ = x − y, og s = y, så vi kan uttrykke z ved (x, y) uten å involvere ξ og C, og resultatet er svaret vi søker:

u(x, y) = z = \frac{1}{C − s} = \frac{1}{1/h(x − y) − y} .

FJ–1(b): Vi er gitt −xuu_{x} + u_{y} = 0 med u(x, 0) = x.

De karakteristiske ligningene blir

ẋ = −xz, ẏ = 1, ż = 0.

Her som ellers løser vi de enkleste ligningene først, og finner z = C og y = s (hvor jeg har brukt friheten til å velge s = 0 der y = 0 som i forrige punkt). x–ligningen blir nå ẋ = −Cx, og vi ender altså med

x = ξe^{−Cs}, y = s, z = C

Setter vi s = 0 blir (x, y) = (ξ, 0), og initialbetingelsen u(x, 0) = x sier at vi skal ha z = ξ i dette punktet, altså C = ξ. Setter vi så inn C = ξ = z og s = y i den første ligningen over ender vi med x = ze^{−zy}, og løsningen z av denne ligningen skal altså være u(x, y).

Vi kan legge til at ze^{−yz} ikke er en monoton funksjon av z, så z er ikke alltid entydig bestemt av (x, y). I en omegn om x–aksen skulle dette likevel ikke være noe problem.

FJ–1(c): Vi er gitt xu_{x} + yu_{y} + u_{z} = u med u(x, y, 0) = h(x, y).

Siden bokstaven z er brukt, får vi bryte litt med tradisjonen og skrive w = u(x, y, z).

De karakteristiske ligningene blir

ẋ = x, ẏ = y, ż = z, ẇ = w.

Her er initialdata gitt for z = 0, så jeg setter s = 0 der z = 0, og ender med

x = ξe^{s}, y = ηe^{s}, z = s, w = Ce^{s}

1Helt presist: Om (x(s), y(s), z(s)) løser de karakteristiske ligningene vil også (x(s + s_{0}), y(s + s_{0}), z(s + s_{0}))

gjøre det, fordi s ikke forekommer eksplisitt i de karakteristiske ligningene.

75042 PDE 1997: Oppgavesett #2 Side 2

Med s = 0 blir (x, y, z) = (ξ, η, 0) så u(x, y, 0) = h(x, y) gir oss C = h(ξ, η). Dermed er det lett å eliminere ξ, η, C og s, og vi står igjen med

u(x, y, z) = w = Ce^{s} = h(ξ, η)e^{s} = h(xe^{−z}, ye^{−z})e^{z}.

FJ–1(d): Vi er gitt −yu_{x} + xu_{y} = u med u(x, 0) = h(x).

De karakteristiske ligningene blir

ẋ = −y, ẏ = x, z = z

Dette gir oss

x = ξ cos s, y = ξ sin s, z = Ce^{s}.

(Den generelle løsningen gir x = ξ cos s + η sin s og y = ξ sin s − η cos s, men igjen velger jeg å la s = 0 der hvor y = 0 slik at η = 0.) Setter vi s = 0 blir (x, y) = (ξ, 0) slik at u(x, 0) = h(x) gir oss C = h(ξ). Som vanlig må vi nå bestemme ξ og z som funksjoner av xog y, men vi finner jo

\frac{y}{x} = tan s hvorav s = arctan \frac{y}{x}, x^{2} + y^{2} = ξ^{2}.

Vi ser at karakteristikkene er sirkler, og de skjærer x–aksen i to punkter hver. Dette vil gi vanskeligheter om vi forsøker å tilpasse intialbetingelsene i begge punkter. Så vi gjør det bare for den positive x-aksen, som gir ξ = +\sqrt{x^{2} + y^{2}} og vi ender med

u(x, y) = Ce^{s} = h(ξ)e^{s} = h(\sqrt{x^{2} + y^{2}}) exp arctan \frac{y}{x}.

FJ–2: En løsning av ligningen a(x, y)u_{x} + b(x, y)u_{y} = −u har ingen ekstrempunkter i det indre av disken med u(x, y) ≠ 0, for i et ekstrempunkt er jo u_{x} = u_{y} = 0. Hvis u > 0 noe sted må derfor u oppnå sitt positive maksimum på randen x^{2} + y^{2} = 1. Anta (x_{0}, y_{0}) er et slikt maksimumspunkt. Siden a(x_{0}, y_{0})u_{x}(x_{0}, y_{0}) + b(x_{0}, y_{0})u_{y}(x_{0}, y_{0}) = −u(x_{0}, y_{0}) < 0 vil u vokse i retningen (−a(x_{0}, y_{0}), −b(x_{0}, y_{0})). Men den retningen er inn i disken under den gitte betingelsen (ax + by > 0 på randen), og det strider mot at (x_{0}, y_{0}) er et maksimumspunkt. Det følger at u ≤ 0 overalt.

Tilsvarende, om u < 0 noe sted må u oppnå sitt negative minimum et sted på randen, og samme argument med ulikhetene snudd om viser at dette ikke går.

En alternativ, mer geometrisk måte å se det på et å merke seg at u beholder sitt fortegn, men avtar i absoluttverdi, langs de karakteristiske kurvene siden en av de karakteristiske ligningene er ż = −z. Dette umuliggjør et positivt maksimum eller negativt minimum i det indre av disken. Men den oppgitte ulikheten sier at alle karakteristiske kurver som krysser randen forlater disken for økende s, eller (mer relevant) kommer inn i området for avtagende s. Men i den retningen (avtagende s) øker z i absoluttverdi, som umuliggjør eksistensen av et positivt maksimum eller negativt minimum på randen.

FJ–6: På vår standard form blir problemet a(u)u_{x} +u_{y} = 0 med u(x, 0) = h(x). De karakteristiske ligningene blir

ẋ = a(z), ẏ = 1, ż = 0

med løsning

x = a(C)s + ξ, y = s, z = C.

Dersom s = 0 blir (x, y) = (ξ, 0) så u(x, 0) = h(x) blir C = h(ξ). Vi setter inn, og eliminerer s:

x = a(h(ξ))y + ξ, z = h(ξ).

For å eliminere ξ kan vi sette ξ = x − a(h(ξ))y fra den første ligningen inn i den andre, og få z = h(x − a(h(ξ))y) = h(x − a(z)y) som var det vi skulle finne (om vi døper om z til u igjen).

At løsningen blir singulær for noen positive y kan vises på flere måter. For eksempel kan vi derivere u = h(x − a(u)y) med hensyn på x:

u_{x} = h′(\underbrace{x − a(u)y}_{ξ})(1 − a′(u)yu_{x})

hvor jeg har definert ξ som antydet for å forenkle uttrykkene litt (og fordi det går godt sammen med bruken av ξ tidligere). Vi løser dette med hensyn på u_{x}, erstatter u med h(ξ) og finner^{2}

u_{x} = \frac{h′(ξ)}{1 + a′(h(ξ))h′(ξ)y} = \frac{h′(ξ)}{1 + (a ∘ h)′(ξ)y}

Av løsningen ovenfor skulle det framgå at ξ er konstant langs karakteristikkene (ξ er x–koordinaten hvor karakteristikken krysser x–aksen). Dersom (a ∘ h)′(ξ) < 0 for en ξ får vi dermed 0 i nevneren for y = −1/(a ∘ h)′(ξ), og u_{x} går mot uendelig når y nærmer seg denne verdien.

En annen måte å se det hele på er geometrisk: Dersom ξ_{1} < ξ_{2} og a(h(ξ_{1})) > a(h(ξ_{2})) ser du med en gang at de to karakteristikkene x = a(h(ξ_{1}))y+ξ_{1} og x = a(h(ξ_{)})y+ξ_{2} må krysse hverandre for en positiv y, men i krysningspunktet krever løsningen vår at både u = h(ξ_{1}) og u = h(ξ_{2}), som er absurd.

Vi kommer til å se dette igjen i forelesningene når jeg kommer til konserveringslover.

#2–1: Klassifiseringen av den gitte ligningen bestemmes av fortegnet til diskriminanten Δ = (x^{2} − 1)(y^{2} − 1) − (xy)^{2} = 1 − x^{2} − y^{2}, slik:

x^{2} + y^{2} < 1 Δ > 0 elliptisk,
x^{2} + y^{2} = 1 Δ = 0 parabolsk,
x^{2} + y^{2} > 1 Δ < 0 hyperbolsk.

Den karakteristiske ligningen er (x^{2} − 1)ξ^{2} + (y^{2} − 1)η^{2} + 2xyξη = 0, som vi kan skrive

(xξ + yη)^{2} = 1

dersom vi velger ξ^{2} + η^{2} = 1 (husk at den karakteristisk ligningen er homogen i (ξ, η) slik at om (ξ, η) er en løsning er også (kξ, kη) det, så vi taper ingen generalitet ved dette valget). Nå husker vi videre at denne ligningen er en ligning for normalvektoren (ξ, η) til en karakteristisk kurve gjennom (x, y). Men da ser vi jo at linjene xξ + yη = ±1, for fast (ξ, η) med ξ^{2} + η^{2} = 1, blir karakteristikker for problemet. Disse linjene er akkurat de som tangerer enhetssirkelen.

Oppgavesett #3 (til 1997–09–23 ) — til neste gang

Evans side 152: 3, 4. Dessuten:

#3–1: Løs eikonalligningen i to dimensjoner: u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = 1 med initialbetingelsene u(x, 0) = \sqrt{x^{2} + R^{2}} og u_{y}(x, 0) > 0.

2a ∘ h er sammensetningen av funksjonene a og h, definert ved a ∘ h(ξ) = a(h(ξ)).