75042 Partielle differensialligninger 1997

Forelesninger

1997-08-29
Denne første uken ser vi på notatet om analyse. Dette kan for en stor del betraktes som repetisjon av stoff fra lineæranalysen, så vi går ganske kjapt gjennom stoffet. Planen for i dag var å dekke implisitt- og invers-funksjonsteoremene, men det nådde jeg ikke. Vi tar det neste uke.
1997-09-05
Jeg har nå forklart hva som menes med et Cauchyproblem og utledet den ikke-karakteristiske betingelsen for annenordens kvasilineære ligninger, og presentert Cauchy-Kowalevskayas teorem med en bevis-skisse. (Vi vil ikke bekymre oss om konvergensbeviset for potensrekkene i eksistensdelen av beviset, som er teknisk vanskelig og ikke bringer så mye innsikt.)
Uke 37 var jeg utenlands, og Helge Holden vikarierte.
Han foreleste side 6-9 i notatet Characteristics and classification, side 9-18 i Fritz Johns bok (om løsning av kvasilineære førsteordens ligninger) og side 92-94 i Evans lecture notes om de karakteristiske ligningene for en generell første ordens PDE.
1997-09-24 (før ukens første forelesning)
Vi har fortsatt gjennom Evans til side 107 og dekket karakteristikkmetoden for generelle første ordens ligninger i (litt for stor?) detalj.
1997-09-26
Startet på konserveringslover; dekket integralformulering og svak formulering, og vist sprangbetingelsen til Rankine-Hugoniot i begge formuleringer. Så vidt begynt å snakke om Riemannproblemer.
1997-10-03
Ferdig med konserveringslover inklusive entropibetingelser.
1997-10-10
Har begynt på Laplace- og Poisson-ligningene. Gjennomgått fundamentalløsningen, dessuten middelverdiegenskapen og maksimumsprinsippet for harmoniske funksjoner.
1997-10-17
Sett på Liouvilles teorem (uten bruk av teorem 7, som vi hoppet over), Harnacks ulikhet, Greens funksjoner og Poissons integralformel.
1997-10-24
Gjort oss ferdig med Poissons integralformel. Entydighet for Dirichletproblemet ved energimetoden, og Dirichlets prinsipp.
Startet på varmeligningen, også her vist etydighet for initialverdiproblemet med Dirichlet randbetingelser ved hjelp av energimetoden. Varmekjernen er definert.
1997-10-31
Varmeligningen fortsatt. Løsning av initialverdiproblemet for den ikkehomogene varmeligningen i rommet; Duhamels prinsipp. Middelverdiegenskapen, maksimumsprinsippet.
1997-11-07
Avsluttet varmeligningen med å bruke energimetoden til å vise entydighet for baklengs varmeligning.
Startet på bølgeligningen: D'Alemberts formel i en dimensjon, litt om metoden med sfæriske middelverdier for å løse Cauchyproblemet i et odde antall romdimensjoner.
1997-11-14
«Method of descent» for å løse Cauchyproblemet i like dimensjoner. Huygens prinsipp. Løsningsformler for den ikkehomogene bølgeligningen. Entydighet og avhengighetsområde ved energimetoden. Ferdig med bølgeligningen.

Planer

1997-11-14 13:35:14 UTC