Norges teknisk– naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3

Faglig kontakt under eksamen: Harald Hanche-Olsen 73 59 35 25

EKSAMEN I FAG 75042 PARTIELLE DIFFERENSIALLIGNINGER

Fredag 17. januar 1997 Tid: 09:00–14:00 Hjelpemidler: A1

— Kalkulator ikke tillatt

— Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt

Oppgave 1

a) Løs problemet

xu_{x} − yu_{y} = u − 2xy^{2}, u(x, x) = 2x^{3}.

I hvilken del av planet er løsningen entydig gitt?

b) Løs problemet

xuu_{x} + u_{y} = 2y, u(x, 0) = x.

(Du kan neppe finne en eksplisitt løsning, men en implisitt ligning som bestemmer u i nærheten av x–aksen.)

Oppgave 2 La u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{1}(\overline{Ω}) tilfredsstille

Δu = pu i Ω, u + q \frac{∂u}{∂ν} = 0 på ∂Ω

der Ω er et åpent, begrenset område i planet med glatt rand, p ∈ C(Ω), q ∈ C(∂Ω), og p ≥ 0 og q ≥ 0. Vis at da er u = 0 i hele Ω. Hva kan du si om randbetingelsen erstattes med ∂u/∂ν = 0 på ∂Ω? Hint: Se på div(uDu).

Side 2 av 3

Oppgave 3 Vis at det finnes høyst en løsning u ∈ C^{2,1}(Ω_{T}) ∩ C^{1}(\overline{Ω}_{T}) for problemet

u_{t} − Δu = f i Ω_{T} ,
u = g i Ω × {0},
\frac{∂u}{∂ν} = h i ∂Ω × (0, T)

der Ω er et begrenset område i R^{n} med glatt rand, Ω_{T} = Ω × (0, T), og f, g og h er gitte funksjoner.

Oppgave 4 La f ∈ C(R^{3}) ha kompakt støtte. Forklar hvordan man kan finne en begrenset løsning u til problemet

Δu = f i R^{3},

og vis at det ikke finnes andre løsninger. Anta så at f i tillegg oppfyller

∫_{R^{3}} f dx = 0

og vis at da er u(x) = O(|x|^{−2}) når |x| → ∞.

Oppgave 5 Ut fra Kirchhoffs formel

u(x, t) = − ∫_{∂B(x,t)} (th(y) + g(y) + Dg(y) · (y − x))dS(y)

for løsningen av problemet

u_{tt} − Δu = 0 (t > 0),
u(x, 0) = g(x),
u_{t}(x, 0) = h(x)

i R^{3} (egentlig x ∈ R^{3} og t ≥ 0), bestem løsningen av det tilsvarende problemet i R^{2}. Hvilken kvalitativ forskjell (bortsett fra den opplagte, at løsningsformlene ser ganske forskjellige ut) gir dette mellom løsningene av bølgeligningen i to og tre romdimensjoner?

Oppgave 6 Betrakt initialverdiproblemet

u_{t} + (cos u)_{x} = 0 (x ∈ R, t > 0),
u(x, 0) = x (x ∈ R).

a) Vis at problemet ikke har noen glatt løsning for alle t > 0. For hvilke (x, t) oppstår diskontinuiteter i løsningen?

b) Forklar kort hva som menes med en svak entropiløsning av det gitte problemet. Du kan regne som gitt at det ikke finnes mer enn én slik løsning. Vis at denne a priori må oppfylle u(−x, t) = −u(x, t) og u(x + 2π, t) = u(x, t) + 2π. Bestem den svake entropiløsningen, og tegn en skisse som viser karakteristikker og sjokk. (Med a priori menes uten først å finne løsningen. Løsningen kan for øvrig ikke beskrives ved en eksplisitt formel.)

Oppgave 7 I hvilke deler av planet er ligningen

(x^{2} − 1)u_{xx} + (y^{2} − 1)u_{yy} + 2xyu_{xy} = 0

henholdvis elliptisk, parabolsk og hyperbolsk? Bestem karakteristikkene til ligningen.