| Uke 3 (1): Mandag 1999-01-18 til fredag 1999-01-22 | |
|---|---|
| Mandag | (Ingen forelesning) |
| Torsdag | Generell innledning; Dirichlets prinsipp (om varmeledning i enhetsdisken i planet) som motiverende faktor. Definisjon av metriske rom, enkle eksempler. |
| Fredag | Normerte rom er også metriske rom. Omegner og åpne mengder. |
| Uke 4 (2): Mandag 1999-01-25 til fredag 1999-01-29 | |
| Mandag | Konvergens av følger, grensepunkt, delfølger. |
| Torsdag | Lukkede mengder, kompletthet, Banachs fikspunktsats (ikke bevist) |
| Uke 5 (3): Mandag 1999-02-01 til fredag 1999-02-05 | |
| Mandag | Ferdig med Banachs fikspunktsats. |
| Torsdag | Kompakthet |
| Uke 6 (4): Mandag 1999-02-08 til fredag 1999-02-12 | |
| Mandag | Kompakthet (fortsatt), definert kontinuitet. |
| Torsdag |
Avsluttende om kontinuitet og uniform kontinuitet. Anvendelser: Picard-Lindelöf [Kopi av transparenter] |
| Uke 7 (5): Mandag 1999-02-15 til fredag 1999-02-19 | |
| Mandag | Innledende om eksistens- og entydighetsproblemet for ordinære differensialligninger. Uniform konvergens, uniforme grenser av kontinuerlige funksjoner er uniforme. |
| Torsdag |
Litt om Picard-iterasjon, deretter Start på Young: Temaer: Indreprodukt; ulikheten til Cauchy, Bunyakovskii og Schwarz; trekantulikheten (slik at et indreprodukt gir en norm). [Kopi av transparenter] |
| Uke 8 (6): Mandag 1999-02-22 til fredag 1999-02-26 | |
| Mandag |
Eksempler på indreproduktrom: l2 og (nesten) L2. Definisjon: Et Hilbertrom er et komplett indreproduktrom. Parallellogramloven og polarisasjonsidentiteten. Jeg har også nevnt - helt uten bevis - at et normert rom der parallellogramloven holder er et indreproduktrom, med indreproduktet gitt ved polarisasjonsidentiteten. |
| Torsdag |
Young: Kapittel 2: Om normerte rom. Kontinuitet av vektorromsoperasjonene, lukkede og ikke-lukkede underrom og tillukningen av underrom, ekvivalens av normer i endeligdimensjonale rom. [Kopi av transparenter] |
| Uke 9 (7): Mandag 1999-03-01 til fredag 1999-03-05 | |
| Mandag | Young: Kapittel 3: Banach- og Hilbertrom. Har vist komplettheten av lp (øvingsoppgaven som mange ikke fikk til); spesielt at l2 er et Hilbertrom. Nærmeste punkt-egenskapen, (en direkte konsekvens av parallellogramloven og kompletthet) er introdusert, og entydigheten av nærmeste punkt er vist. |
| Torsdag |
Nesten ferdig med kapittel 3: Bevis for eksistensen av nærmeste punkt til en lukket konveks mengde i et Hilbertrom, og en introduksjon til L2. Startet på kapittel 4: Tok ortogonal projeksjon (4.4) først, startet på ortonormale systemer, Fourierkoeffisienter. [Kopi av transparenter] |
| Mandag | Kapittel 4: Ortonormale systemer fortsatt. |
| Uke 10 (8): Mandag 1999-03-08 til fredag 1999-03-12 | |
| Torsdag |
Ferdig med kapittel 4, også litt rundt L2 (med et lite sidesprang uti Lebesgue-integrasjon) og forskjellen på punktvis og L2-konvergens. Kapittel 5: Teorem 5.1 om klassiske Fourier-rekker (uten bevis). [Kopi av transparenter] |
| Uke 11 (9): Mandag 1999-03-15 til fredag 1999-03-19 | |
| Mandag | Kapittel 6, om dualrom. |
| Torsdag |
Kapittel 6 fortsatt: Dualrommet til l1. Representasjonsteoremet til Riesz-Fréchet. Startet på kapittel 7 om lineære operatorer. Etter innledende definisjoner sprang vi rett til definisjonen av adjungerte operatorer på Hilbertrom (slik at vi fikk brukt Riesz-Fréchet til noe). [Kopi av transparenter] |
| Uke 12 (10): Mandag 1999-03-22 til fredag 1999-03-26 | |
| Mandag | Vist de grunnleggende egenskapene til den adjungerte, og gikk gjennom et par eksempler (multilplikasjonsoperator og integraloperator). |
| Torsdag |
Hermitiske operatorer (avsnitt 7.4), inverser (7.2), spektret (7.5). [Kopi av transparenter] |
| Uke 13: Mandag 1999-03-29 til fredag 1999-04-02 | |
| Påskeferie. | |
| Uke 14 (11): Mandag 1999-04-05 til fredag 1999-04-09 | |
| Mandag | Påskeferie fortsatt. |
| Torsdag |
Mer om spektret, startet på kapittel 8 om kompakte operatorer [Kopi av transparenter] |
| Uke 15 (12): Mandag 1999-04-12 til fredag 1999-04-16 | |
| Mandag | Kompakte operatorer. |
| Torsdag |
Spektralteoremet, Hilbert-Schmidt operatorer. [Kopi av transparenter] |
| Uke 16 (13): Mandag 1999-04-19 til fredag 1999-04-23 | |
| Mandag |
Start på en rask gjennomgang av det viktigste i Sturm-Liouville-teorien (kapittel 9-11). Transparenter finnes i skjermvennlig og i utskriftsvennlig utgave (begge deler som PostScript). Jeg nådde nesten gjennom de ti første denne gangen. |
| Torsdag |
Gjennomgang av en eksamensoppgaven fra mai 1998 (4c og 5 gjenstår til mandag). [Kopi av transparenter] |
| Uke 17: Mandag 1999-04-26 til fredag 1999-04-30 | |
| Mandag |
Eksamen mai 1998: 4c og 5. [Kopi av transparenter] Mer om Sturm-Liouville-teori. (Transparenter: Se forrige mandag, over.) Og det var siste forelesning. |