Teori



Klikk på linkene under for å scrolle ned til valgte del:

Uregelmessig sjø

JONSWAP-spekteret

Bølgestatistikk

Transferfunksjoner

Hydrodynamiske koeffisienter

Respons




Tilbake til toppen

Uregelmessig sjø

Uregelmessig sjø får vi ved å summere N regulære bølger med ulik periode, amplitude og fasevinkel. Bølgespektra brukes til å illustrere uregelmessig sjø, og er definert slik at arealet innenfor et lite frekvensintervall Δω er lik energien til alle bølgekomponentene innenfor dette intervallet:



der ζAn er amplituden til en lineær bølgekomponent.

Da overflatehevningen er beskrevet som



for langkammede bølger som forplanter seg i x-retning, der bølgekomponentene har frekvens ωn, bølgetall kn og rektangulært fordelt fasevinkel εn mellom 0 og 2π.

Tilbake til toppen

JONSWAP-spekteret

Lekterne skulle operere i en sjøtilstand beskrevet vha. JONSWAP-spekteret. JONSWAP står for ”Joint North Sea Wave Project” og er et bølgespekter som er ment å beskrive forholdene i Nordsjøen bedre enn for eksempel spektra av typen Pierson-Moskowitz (PM). Dette oppnås ved å multiplisere PM-spekteret med faktoren



der γ er den såkalte toppethetsparameteren,



ω er bølgefrekvensen og ωp er spekterets toppfrekvens.

Det fullstendige uttrykket for JONSWAP-spekteret blir:



Hs er signifikant bølgehøyde, dvs. gjennomsnittet av de 1/3 høyeste bølgene, mens Tp er spekterets topperiode:



Figuren under viser JONSWAP-spekteret for Hs = 12 m, Tp = 10 s og γ = 3.

Tilbake til toppen

Bølgestatistikk

Spekterets momenter er brukt til å beregne en rekke statistiske egenskaper for sjøtilstanden, og er definert ved:



Nå kan vi beregne midlere nullkrysningsperiode:



Midlere periode:



Midlere periode mellom bølgetoppene:



Høyeste bølge på en 5-timers periode:

,

der N er antall bølger i 5-timers perioden gitt som N = varighet av sjøtilstanden/midlere nullkrysningsperiode.

Tilbake til toppen

Transferfunksjoner

Hiv

Utgangspunktet for å beregne hivbevegelsen til systemet vårt er Newtons 2. lov:

(I)
der
er treghetskraft
er dempningskraft
er fjærkraft
er eksitasjonskraft i hivretning, som består av Froude-Kriloff-krefter og diffraksjonskrefter.

Froude-Kriloff-kreftene kan vi finne som



mens diffraksjonskreftene er



Total eksitasjonskraft i hivretning blir dermed, etter litt regning:



Løsningen av differensiallikningen (I) er:



Dermed kan vi finne transferfunksjonen i hiv:



Stamp

For stampebevegelsen blir Newtons 2. lov:



For å finne eksitasjonskreftene i stamp har jeg benyttet følgende formel fra Faltinsens ”Sea Loads on Ships and Offshore Structures”:



Dermed blir transferfunksjonen i stamp:



Grunnen til at eksitasjonskraften er delt på bølgetallet k i uttrykket for transferfunksjonen er at transferfunksjonen dermed blir dimensjonsløs.

For å se transferfunksjonene i hiv og stamp, klikk her.

Tilbake til toppen

Hydrodynamiske koeffisienter

For å beregne added mass- og dempningskoeffisienter i hiv har jeg tatt utgangspunkt i figur 3.20 i kompendiet ”TMR4247 Marin Teknikk 3, Hydrodynamikk” av Bjørnar Pettersen. Denne figuren viser todimensjonal A33 og B33 for en typisk skipsseksjon ved to forskjellige bredde/dypgang-forhold. Disse bredde/dypgang-forholdene viste seg tilfeldigvis å være nøyaktig de samme som for lekterne i oppgaveteksten.

Siden added mass- og dempningskoeffisenter er frekvensavhengige, har jeg laget to subrutiner, a33.c og b33.c, som regner ut todimensjonal added mass- og dempningskoeffisient for ulike bølgefrekvenser. Disse subrutinene baserer seg på de numeriske resultatene som er gjengitt i figur 3.20 (heltrukne linjer). For å finne funksjonsuttrykket til disse kurvene har jeg plottet utvalgte punkter fra grafene i Excel, og brukt regresjonsanalyse i Excel til å finne 6. gradspolynomer som svarer til grafene.

Ved hjelp av meget nøysom avlesning av grafene har jeg kommet fram til svært gode polynomer. På figuren under er punktene plottet med tilhørende regresjonskurve, ligning og kurvens avvik fra punktene oppgitt som R2. Vi ser at regresjonskurven er 100 % nøyaktig for dempningskoeffisientene og svært nær 100 % nøyaktig for added mass-koeffisientene.



Når det gjelder added mass- og dempningskoeffisienter i stamp, har jeg tatt utgangspunkt i uttrykkene for disse i ”Sea Loads on Ships and Offshore Structures” av Odd Faltinsen:



Ved å regne ut disse integralene får vi:



Siden A55 og B55 er funksjoner av A33 og B33 har jeg valgt å bruke subrutinene a33.c og b33.c i beregningene av A55 og B55.

Fjærkoeffisienten i hiv, C33, er gitt ved:



hvor Aw er vannlinjearealet til lekteren.

Fjærkoeffisienten i stamp, C55, er gitt ved:



der er fartøyets volumdeplasement.

Avstanden fra kjøl til oppdriftssenter, KB, er for lekterne våre halve dypgangen, altså D/2. For å regne ut avstanden fra kjøl til tyngdepunkt, KG, har jeg antatt at lekterne har uniform massetetthet, og tyngdepunktet vil dermed ligge midt i lekteren, altså:



der Frb er lekterens fribord. Jeg tolket oppgavetekstens D som dypgang og har selv valgt fribord til å være lik dypgangen, for at lekteren skal stikke opp over vannoverflaten.

Avstanden fra oppdriftssenter til langskips metasenter, BML, er gitt ved:



For å beregne massetreghetsmomentet i stamp, I55, har jeg benyttet ligning (3.6) i ”TMR4247 Marin Teknikk 3, Hydrodynamikk”:



dm blir i vårt tilfelle:



der M er lekterens masse.

Etter litt regning kommer man frem til at:



Tilbake til toppen

Respons

Hivbevegelsen i uregelmessig sjø kan skrives som:



der θhn er faseforskyvningen mellom eksitasjonskraften og forskyvningen av lekteren i hiv, og εn er bølgekomponentenes fasevinkel.

Tilsvarende får vi for stampebevegelsen:



Grunnen til at det er brukt cos og ikke sin for stampebevegelsen kommer av at uttrykket for eksitasjonskreftene i stamp fra "Sea Loads on Ships and Offshore Structures" varierer med cos(ωt). I uttrykket for denne kraften under "Transferfunksjoner" er ikke det tidsvarierende leddet tatt med.

Fasevinkelen i hiv er gitt ved:



For å sikre at fasevinkelen havner i riktig kvadrant har jeg benyttet atan2-funksjonen i C.

Da stampebevegelsen går som cos(ωt) blir fasevinkelen i stamp:



For tilfellene med regulære bølger kan vi bare bytte ut rottegnet i formlene for hiv- og stampebevegelse med bølgeamplituden direkte. Det blir dessuten ingen summasjon for disse tilfellene, da vi bare har én bølge.

Lekterne er definert som elementene som forbinder 8 noder. Nodenes bevegelse i z-retningen kan finnes ved å multiplisere avstanden fra noden til flotasjonssenteret med η5, og legge dette til η3. For å finne nodenes bevegelse i x-retning har jeg brukt ordinære trigonometriske betraktninger for en lekter som roterer.